更新时间:2023-01-05 06:07
柯西积分公式是一把钥匙,他开启了许多方法与定理;他刻画了解析函数的又一种定义;人们对它的研究极具意义,让解析函数论能够单独脱离于实函数。通过柯西积分公式就可以把解析函数f(z)在简单闭曲线C的内部任意一点处的值由边界C上的值表示。这是解析函数的又一特征。柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,从而是研究解析函数的有力工具。
设 为单连通域D内的个解析函数, 为D内一点,环路C为D内包围 的一条简单闭曲线,由单连通
域柯西定理可知,
.
考虑积分
,
显然函数 在 处不解析,所以积分 一般不为零.根据闭路变形原理,这个积分的值对围绕 的任一简单闭曲线都是相同的.因此,可以取以 为圆心、半径为 的很小的圆周 作为积分曲线 .由于 的连续性,在 上的函数 的值将随着 的缩小而逐渐接近于它的圆心 处的值 .我们作出这样的猜想,积分
事实上,我们有下面的定理.
柯西积分公式: 如果 在区域D解析, 为D内一点,C为D内包围 的任意一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,则 .
证明:由于 在点 连续,任意给定一个正的小数 ,必然存在一个 ,使得当 时, 。取 ,使正向圆周 全部在C的内部,根据闭路变形原理有
根据复变函数积分不等式,有
从而必有
于是有
2.设 在简单闭曲线 所围成的复连通域D内解析,并在 上连续, 在 的内部, 为D内一点,则
对于无界区域,需要假设 在简单闭合围道C上及C外(包括 点)单值解析,类似计算
其中a为C外一点,积分路径C的走向是绕无穷远点的正向,即顺时针方向。在C外再作一个以原点为圆心,R为半径的圆 ,对于C和 所包围的复连通区域,根据有界区域的柯西积分公式,就有
的走向是逆时针方向。只要R足够大,这个结果当然与R的具体大小无关,于是可令 ,若
可得
因此,
当 时,就得到了无界区域的柯西积分公式;如果 在简单闭合围道C以及C外解析,且当 时, 一致趋于0,则柯西积分公式
仍然成立,此处a为C外一点,积分路线C为顺时针方向。