更新时间：2024-03-09 00:28
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。根轨迹是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便，特别在进行多回路系统的分析时，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
当闭环系统没有零点与极点相消时，闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点，我们常简称为闭环极点。因此，从已知的开环零、极点位置及某一变化的参数来求取闭环极点的分布，实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题。当特征方程的阶数高于四阶时，除了应用MATLAB软件包，求根过程是比较复杂的。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程式根的影响，就需要进行大量的反复计算，同时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求根问题来说，解析法就显得很不方便。
1948年，W.R.伊文思在“控制系统的图解分析”一文中，提出了根轨迹法。当开环增益或其他参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定。因为系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在s平面上的位置密切相关，所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求。除此而外，用根轨迹法求解高阶代数方程的根，比用其他近似求根法简便。
根轨迹与系统稳定性
1.如果根轨迹全部位于s平面左侧，就表示无论增益怎么改变，特征根全部具有负实部，则系统就是稳定的。
2.如果根轨迹在虚轴上，表示临界稳定，也就是不断振荡。
3.如果根轨迹根轨迹全部都在s右半平面，则表示无论选择什么参数，系统都是不稳定的。
也就是说增益在一定范围内变化时，系统可以保持稳定，但是当增益的变化超过这一阈值时，系统就会变得不稳定，而这一阈值就是出现在根轨迹与虚轴的交点上，在这一点系统临界稳定。最终可由增益的取值范围判断系统的稳定性。
根轨迹的绘制具有以下绘制法则：
法则1.起点和终点
根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点（包括无限极点），终于开环零点（包括无限零点）。
法则2.分支数、对称性和连续性
根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。
法则3.渐近线
根轨迹的渐近线。当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为
、交点为 的一组渐近线趋向无穷远处，且有 ，k=0,1,2,...,n-m-1和
法则4.在实轴上的分布
根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则5.分离点与分离角
根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d是下列方程的解：
式中，zj为各开环零点的数值；pi为各开环极点的数值；分离角为（2k+1）π/l
法则6.起始角与终止角
根轨迹的起始角与终止角。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角。这些角度都可以由特定关系式求出。
法则7.与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的值和ω值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s=jω，然后分别令其实部和虚部为零而求得。
法则8.根之和
根之和。