更新时间：2024-03-13 13:13
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域。直观地说，单连通区域是没有空间的区域，否则称为复连通区域。
当xOy平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规定当一个人沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向，反之为负方向。
设闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 及 在 上具有一阶连续偏导数，则有
（1）
其中 是 的取正向的边界曲线。
公式⑴叫做格林（green）公式。
先证
假定区域 的形状如下（用平行于 轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多两点）
易见，图1(二)所表示的区域是图1（一）所表示的区域的一种特殊情况，我们仅对图1（一）所表示的区域 给予证明即可.
另一方面，据对坐标的曲线积分性质与计算法有
因此
假设将AB曲线上移，或EC曲线下移，使AE重合或者BC重合，便可以认为是一条常规的曲线。也可以认为某条常规曲线是将AE或BC长度设为零形成的。再假定穿过区域D内部且平行于 轴的直线与D的边界曲线的交点至多是两点，用类似的方法可证
将两式合并之后即得格林公式
在平面闭区域D上的二重积分，可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达；或者说，封闭路径的曲线积分可以用二重积分来计算。如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立.
注意：对于复连通区域D，格林公式的右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向。
格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛.