更新时间：2022-08-25 15:11
函数f的梅林变换是：
逆变换是 ：
这是在复平面上的垂直线上的线积分。在Mellin反演定理中给出了这种反演有效的条件。这个转换以芬兰数学家Hjalmar Mellin命名。
双边拉普拉斯变换可以通过梅林变换来定义：
相反，我们可以从双边拉普拉斯变换中得到梅林变换：
我们也可以用梅林变换定义傅里叶变换，反之亦然。就梅林变换和上面定义的双边拉普拉斯变换而言：
反过来我们也可获得：
梅林变换还通过泊松 - 梅林 - 牛顿循环将牛顿级数或二项式变换与泊松生成函数连接在一起。梅林变换也可以看作是Gelfand变换的卷积代数的局部紧凑阿贝尔正实数乘法。
对于 ， 和 在主要分支，一个
其中 是伽马函数。这个积分被称为Cahen-Mellin积分。
数论中的一个重要应用是简单的函数：
因此， 假设
在概率论中，梅林变换是研究随机变量乘积分布的必要工具。如果X是一个随机变量，和 表示其正面部分，而 是其负部分，则梅林变换的X被定义为：
其中 满足 。
概率论的梅林变换的重要性在于，如果X和Y是两个独立的随机变量，然后X、Y的梅林变换的结果是X和Y的梅林变换的乘积：
梅林变换由于其尺度不变性而被广泛用于计算机科学分析算法。缩放函数的Mellin变换的幅度与纯虚数输入的原始函数的幅度相同。这种尺度不变性属性类似于傅立叶变换的平移不变性。时移函数的傅立叶变换的幅度与原函数的傅立叶变换的幅度相同。
这个属性在图像识别中很有用。当物体朝向或远离相机移动时，物体的图像很容易被缩放。
在量子力学尤其是量子场论中，傅立叶空间是非常有用的，并且由于动量和位置是彼此的傅立叶变换（例如，在动量空间中更容易计算费曼图），所以被广泛使用。2011年，A. Liam Fitzpatrick，Jared Kaplan，JoãoPenedones，Suvrat Raju和Balt C. van Rees证明Mellin空间在AdS / CFT通信中起着类似的作用。