更新时间：2022-08-25 13:48
模同构是一种特殊的模同态，假设f是模M到模N的同态，若f时一一的并且是映上的，则f为模M到模N的同构。两个同构的模，从模的结构来看，它们没有什么区别。模同构具有一个性质，即若f为模M到模N的同态，则f的逆映射f^(-1)也是同构。广义模同构是一种广义模同态。
设M 和M' 均为R- 模。映射 为一个加法群同态，且满足 ，那么我们称映射 为M 到M' 的一个模同态。
如果N 为M 的一个子模，那么M 到M/N 的自然映射 为一个M 到M/N 的模同态映射。
设映射 为M 到M' 的一个模同态（M,H 为两个R -模）。则分解式 成立，知：
其中 为上式定义的 的由 导出的模同态， 为M 到M/N 的自然模同态。进一步，有：
（1） 为满模同态当且仅当 为满同态；
（2） 为单模同态当且仅当 ；
（3） 为模同构当且仅当为 满同态，且 。
模同构（module isomorphism）是一种特殊的模同态，模M到N的同态f若是一一的并且是映上的，则称f是M到N 的同构，这时称M,N 是同构的模，记为M=N 。两个同构的模，从模的结构来看，它们没有什么区别。若f 是同构，则f 的逆映射 也是同构。
广义模同构是一种广义模同态。设A,B 是k-代数，且 ，M 是A 上的模，N 是B 上的模，M 到N 的k-线性映射 如果满足 ，则称 为 到 的广义模同态；特别的，如果 是双射，则 称为 到 的广义模同构，记作 。
模的第一同构定理
设 为模同态，且 ，那么 。
注意：在证明的过程中运用分解定理，同时需要注意 为到 上的一个满同态映射。
模的第二同构定理
设S 和T 为模M 的两个子模，记 。那么S+T 和S∩T 均为的M子模。进一步，有 。
证明：直接验证不难知道，S+T 和S∩T 均为M 的子模。
定义映射 ，那么映射f 为模同态，其同态核kerf=S∩T ，它的同态像为 ，从而由第一同构定理知结论成立。
模的第三同构定理
设N≤L≤M （即N 为L 的子模，L 为M 的子模），那么 。
证明：定义映射 ，
则有： 。
再由第一同构定理知结论成立。
设N 为一个R -模M 的一个子集，记 以及 ，即 为M 的所有包含N 的子模的集合， 为M/N 的所有子模的集合。则映射 为 到 的一个1-1对应。其逆映射 满足 ，这里 为M 到M/N 的自然模同态。
证明：我们知道，在群的情形下，群对应法则导致 （M 的所有包含N 的加法子群构成的集合）到 （ 的所有子群构成的集合）的一个1-1对应关系，记为φ。下面我们只需要证明上述对应法则满足模对应关系，为此我们只需要证明 。这里我们用 表示S 为T 的一个子群（但在不至于引起混淆的前提下，我们用“ ”代替“ ”），而用S≤T 表示S 为T 的一个子模。
假设 ，那么 ，因此存在 ，使得x+N=y+N 。从而x-y∈N≤S2 ，但由于 ，故 ，所以 。
如果R 是含幺交换环，I 和J是它的理想，则有R-模同构 。