更新时间：2022-08-25 16:57
模糊关系方程(fuzzy relation equation;FRE)是含有未知模糊关系的一类等式。设X与Y为有限论域，A是X上的模糊子集，R为X到Y的模糊关系，则可通过复合运算得到Y上的模糊子集B=A°R，若已知B与R，欲求A；或已知B与A，求R，使满足A°R=B，则称该等式为模糊关系方程。所求出的A或R称为该模糊关系方程的解。一般地，模糊关系方程的解不是惟一的，桑切斯(E.Sanchez)首先研究了模糊关系方程，指出模糊关系方程存在最大解和极小解，但一般不存在最小解。
模糊关系方程在模糊数学理论及其应用中占有十分重要的地位。法国的桑切斯在这方面做了开创性的研究。他最早提出模糊关系方程并且给出了方程的最大解。继之日本的政元对有限集上模糊关系方程的求解给出具体解法，我国的罗承忠、徐文立、曹志强、李必祥等给出了方程的简化解法。
模糊关系方程有两种类型。
给定论域U、V、W，已知模糊关系
求模糊关系满足方程：
已知模糊关系
求模糊关系，满足方程：
在类型Ⅱ中，令，其隶属函数：
称为的转置关系，同样规定，则T满足方程：
因而，两种类型的方程可以互相转化。
满足模糊关系方程的称为方程的解，如果方程有解，则称方程为相容的，否则称方程为不相容的。如果方程的某个解，对其他任何一个解，恒有，则称为方程的最大解。
桑切斯最一般地证明了，对任意模糊关系方程，若有解则必有最大解。对有限论域上的模糊关系方程，政元给出了具体解法，称为政元方法。罗承忠等对政元方程进行了简化。参见模糊关系。