B A

(ii) 若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记为A B 。

定义3 对于论域X 上的模糊集A ，B ，

(i) 称Fuzzy 集C A UB ，D A IB 为A 与B 的并（union ）和交（intersection ），

即

C (A UB)(x) max{A(x),B(x)} A(x) ∨B(x)

D (A IB)(x) min{A(x),B(x)} A(x) ∧B(x)

他们相应的隶属度μ (x),μ (x) 被定义为

C D

μ (x) max{μ (x),μ (x)}

C A B

μ (x) min{μ (x),μ (x)}

D A B

(ii) Fuzzy 集AC 为A 的补集或余集(complement)，其隶属度

μ (x) 1−μ (x)

AC A

模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建

立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这

里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。

模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客

观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素：

(i) 论域X ；

(ii) X 中的一个固定元素x0 ；

*

(iii) X 中一个随机变动的集合A (普通集)；

* *

(iv) X 中一个以A 作为弹性边界的模糊集A ，对A 的变动起着制约作用。其中

* *

x0 ∈A ，或者x0 ∉A ，致使x0 对A 的关系是不确定的。

假设做n 次模糊统计试验，则可计算出

*

x A

0 ∈ 的次数

x0 对A 的隶属频率=

n

实际上，当n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为x0 对A 的隶属度，

即

*

x0 ∈A 的次数

μ (x ) =lim

A 0

n→∞ n

指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函

数的一种方法。

如果模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方

法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布，再根据实际测量数据确定其中

所包含地参数，常用的模糊分布如表 1 所示。

实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布：

① 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小

的程度的模糊现象。

② 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大

的程度的模糊现象。

③ 中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不

太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。

但是，表 1 给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修

改进行完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。

在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题的

实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作

为模糊集的隶属度。下面举例说明。

如果设论域X 表示机器设备，在X 上定义模糊集A =“设备完好”，则可以用“设

备完好率”作为A 的隶属度。如果X 表示产品，在X 上定义模糊集A =“质量稳定”，

则可以用产品的“正品率”作为A 的隶属度。如果X 表示家庭，在X 上定义模糊集A

=“家庭贫困”，则可以用“Engel 系数=食品消费/总消费”作为A 的隶属度。

另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的

“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出

顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。

基本概念

定义 4 设论域U ，V ，乘积空间上U ×V {(u,v) u ∈U,v ∈V}上的一个模糊

子集R 为从集合U 到集合V 的模糊关系。如果模糊关系R 的隶属函数为

μ ：U ×V →[0,1] ， (x,y ) aμ (x,y )

R R

则称隶属度μ (x,y ) 为(x,y ) 关于模糊关系R 的相关程度。

R

这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。

{ } { }

设U x ,x ,L,x ，V y ,y ,L,y ，R 为从从U 到V 的模糊关系，其

1 2 m 1 2 n

隶 属 函 数 为 μ (x,y ) ， 对 任 意 的 (x ,y ) ∈U ×V 有 μ (x ,y ) r ∈[0,1] ，

R i j R i j ij

i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，记R (r ) ，则R 就是所谓的模糊矩阵。下面给出一

ij m×n

般的定义。

定义 5 设矩阵R (r ) ，且r ∈[0,1] ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，则R 称

ij m×n ij

为模糊矩阵。

特别地，如果rij ∈{0,1} ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，则称R 为布尔(Bool)矩阵。

当模糊方阵R (r ) 的对角线上的元素r 都为 1 时，称R 为模糊自反矩阵。

ij n×n ij

当 m 1 或 者 n 1 时 ， 相 应 地 模 糊 矩 阵 为 R (r ,r ,L,r ) 或 者

1 2 n

R (r ,r ,L,r )T ，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。

1 2 n

模糊矩阵间的关系及并、交、余运算

定义 6 设A (a ) ，B (b ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 都是模糊矩阵，

ij m×n ij m×n

定义

(i) 相等：

A B ⇔a b ；

ij ij

(ii) 包含：

A ≤B ⇔a ≤b ；

ij ij

(iii) 并：

A UB (a ∨b ) ；

ij ij m×n

(iv) 交：

A IB (a ∧b )

ij ij m×n

(v) 余：

AC (1−a )

ij m×n

⎛ 1 0.1 ⎛0.7 0

⎞ ⎞

模糊矩阵的合成

定义 7 设A (aik )m×s ，B (bkj )s×n ，称模糊矩阵

A oB (c )

ij m×n

为A 与B 的合成，其中

{ }

cij max (aik ∧bkj ) 1≤k ≤s

⎛ 1 0.7⎞

⎛0.4 0.7 0 ⎞ ⎜ ⎟

模糊矩阵的转置

定义 8 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，称AT (aT ) 为A 的转

ij m×n ji n×m

置矩阵，其中aT a 。

ji ij

(4) 模糊矩阵的λ−截矩阵

定义 9 设A (a ) ，对任意的λ∈[0,1] ，

ij m×n

(i) 令

1, a ≥λ

(λ) ⎧⎪ ij

aij ⎨

0, a ＜λ

⎪⎩ ij

则称Aλ (a(λ) ) 为模糊矩阵A 的λ截矩阵。

ij m×n

(ii) 令

1, a ＞λ

(λ) ⎧⎪ ij

aij ⎨

0, a ≤λ

⎪⎩ ij

则称 (λ) λ

Aλ (aij )m×n 为模糊矩阵A 的 强截矩阵。

·

显然，对于任意的λ∈[0,1] , λ截矩阵是布尔矩阵。

⎛ 1 0.5 0.2 0 ⎞

⎜ ⎟

⎜0.5 1 0.1 0.3 ⎟

模糊矩阵的一个性质

性质 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 是模糊自反矩阵(对角线上的元ij m×n 素 I rij 都为 1 的模糊矩阵)， 是n 阶单位矩阵，则

I ≤R ≤R 2

证：因为A (a ) 是模糊自反矩阵，即有rii 1，所以I ≤R ，又

ij m×n

{ }

max (aik ∧akj ) 1≤k ≤n ≥rii ∧rij rij

即有R ≤R 2 。