6.对C的任意对象A，Hom(A，A)至少有一个元素εA使对σ∈Hom(A，B)恒有σεA=σ=εBσ，称εA为A的恒等态射(εB为B的恒等态射)。

例如，以一切集合作对象，以集合映射作态射，则得集合范畴Set(简称集范畴)。以一切拓扑空间作对象，以连续映射作态射，则得拓扑空间范畴Top。以一切环为对象，以环同态作为态射得环范畴Ring。类似地，可得群范畴Group，阿贝尔群范畴AG，环R上的左R模范畴RM等。以自然数为对象，a|b(表示a整除b)时定义Hom(a，b)有惟一元素φab，ab时定义Hom(a，b)=(空集)，也得到一个范畴.一般地，对每个拟序集都可仿此定义范畴。

模是一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。给定集合A与交换群M，若定义了a∈A与x∈M的乘积ax∈M，并且这个积满足条件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

则称A为M的算子区，称M为带算子区A的模，又称为A上的模或A模。这时，由对应(a，x)→ax确定的映射A×M→M，称为A作用到M上的运算。任意a∈A可诱导出M的自同态aM：x→ax，而考虑交换群M能否成为A模就是看能否给出映射

μ： A→End(M)，　a→aM.

特别地，考虑A是结合环，若满足上述条件1的A模还满足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)为环同态，则称M为左A模或左环模.由于A到M上的运算是写在左侧，所以M就称为左A模，记为AM.类似地，有右A模M，记为MA.若A有单位元1，且又满足条件

4.1x=x (x∈M);

则称M为酉模或幺模，以下设A模都是酉模。

的全体构成的集类，则F是R上的一个环.环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤。 称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态。这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f将A的单位元变成B的单位元。

例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

同态的概念能用抽象的方式加以推广。

模同态是模论的重要概念之一。指两个模之间的一类映射。设M，N是两个A模，f是加群M到N的群同态，若f还保持A到M，N上的运算，即对任意a∈A，f(ax)=af(x)，x∈M，则称f是模同态，也称A同态。常记为f∈HomA(M，N)或f∈Hom(M，N)。任意两个模M，N之间总存在模同态，例如，设f(x)=0，x∈M，通常称此同态为零同态。若N是M的子模，映射π：x→x-=x+N是AM到AM-的模同态，则称π为自然同态。模M，N之间的模同态集HomA(M，N)是一个加群，特别地，当M=N时，记：

End(AM)=HomA(M，N)，

它是一个环，称为模M的自同态环。A是End(AM)的子环。