c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。

则函数y、(x) 满足微分方程：

上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。

（2）含有自变函数高阶导数的泛函的欧拉方程

一般来说，对于下述泛函：

在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：

（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程

对于下述泛函：

其欧拉方程组为：

（4）多元函数的泛函及其欧拉方程

此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：

其欧拉方程为：

在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。

历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。

欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。

如下