正十七边形

更新时间:2024-10-30 14:43

正十七边形,是指几何学中有17条边及17个角的正多边形。正十七边形的每个内角约为158.8235294117647°,其内角和为270°,有119条对角线。最早发现其形状可用尺规作图法作出的是高斯

起源

最早证明正十七边形可用尺规作图的是德国数学家高斯。1801年高斯证明:如果费马数质数,那么,就可以用直尺和圆规将圆周等分。第一个正十七边形尺规作图法是在1825年由约翰尼斯·厄钦格(Johannes Erchinger)给出。

证明

先计算或作出

设正17边形中心角为,则,

故,而

又由(三角函数积化和差公式)等

注意到(诱导公式)等,有

令,有.

=

再设,

故有

最后,由,可求之表达式

它是有理数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。

简易作法

因为360°/17≈21°10′ ,利用sinA21°6′=0.3600可得近似角。用该方法作正十七边形总误差为:(21°10′-21°6′)×17=17×4′=68′,在不要求十分精确的情况下还是可行的。

作法如下:

1.先画一条直线,用圆规在上面截取5条相等线段,(尽量越短越好),再截取之前四条线段的和,接续之前画的线段。这样,如果每条小线段算作0.1的话,那么整条线段就是0.9。

2.用圆规截取之前5条小线段的长,画5次,这样这条线段就是5。0.9/2.5=0.36。准备工作完毕!

3.另作一条直线,作垂线,1.8的线段作为对边,5的线段作为斜边,那个最小的锐角即是近似的360°/17的角。以其顶点为圆心,重复作角直至闭合。画一大圆,连接其与17条射线的交点,即可。

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