正等角中心

更新时间:2022-08-25 16:08

分别以△ABC的三边为一边,向形外作正三角形BCA1,CAB1,ABC1,则AA1,BB1,CC1相交于一点T,则称T为△ABC的正等角中心,当△ABC各内角均小于120°时,正等角中心到三顶点的距离之和最小。正等角中心和托里拆里点实际上为同一点,只不过前者是从共点线角度来提出,而后者知是从共点圆角度提出的。当三角形各内角均小于120°时,正等角中心又和费尔玛点重合, 费尔玛点是从几何极值角度提出的。

基本介绍

正等角中心(positive isogonal centre)亦称费马点,是三角形的巧合点之一。若分别以△ABC的三边为边,向形外作正三角形ABC′,BCA′,CAB′,则三直线AA′,BB′,CC′交于同一点P,并形成以P为顶点的六个相等的角,每个角等于60°(如图1),点P称为△ABC的正等角中心,当△ABC每个内角都小于120°时,正等角中心是到三顶点距离之和为最小的点,正等角中心早在古希腊时代已被发现,公元17世纪时,费马(Fermat,P.de)曾提出这样的征解问题:求一点,使与定三角形三顶点的距离和为极小。因此,各角均小于120°的三角形的正等角中心又称费马点

正等角中心的证明

若在△ABC的外边作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC' ,如图2(a),则AA'、BB'、CC'三线共点。

这点叫做△ABC的正等角中心,是三角形的巧合点之一,早在希腊时代已被发现。公元十七世纪时。法国数学家费马(Fermat,1601-1665年)曾提出一问题征解,问题是“求一点,使与定三角形三顶点的距离和为极小”。当三角形的三个角均小于120°的时候,如图2(b),问题的解答正是三角形的正等角中心。因此各角均小于120°的三角形,它的正等角中心又有费马点之称。

题设 在△ABC的外边作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC'。

题断

思索方法 在AA'、 BB'、CC'三线中,如果其中两线的交点是△ABC的顶点之一(当△ABC有一角等于120°时),则问题已显而易见。现在假定BB'与CC'的交点是O,连OA和OA'。 由题设,易知△ABB'与△AC'C合同,因而A与BB'、C'C等距。那么OA是∠B'OC'或∠BOC的平分线,如图2(c)。于是若能证OA'是∠BOC的平分线,问题便解决了。为要考究这一点,我们想到图形中有许多60°的角,应该设法利用它们。从上述两个合同三角形的对应角相等这个关系看来,我们马上发觉∠COB'= ∠CAB'= 60°, 由此可见O、B、A'、C四点同在一圆上。这就证实了我们刚才的希望没有落空。

证明分三种情形证明如下:

1° 假定△ABC有一角例如A角等于120° ,如图2(a)。这时BAB'与CAC'显然都是直线,因而AA'、BB'、CC'三线会于A点是十分明白的。

2° 假定△ABC各角均小于120° ,如图2(b)。这时BB'、CC'两线显然交于△ABC内部一点O,连OA和OA'。由题设,AB= AC',AB'= AC,且

∠BAB'=∠BAC+∠CAB'=∠BAC+∠C'AB=∠C'AC,

故 △ABB'≌△AC'C。

由此得知A与BB'、C'C等距,那么OA是∠B'OC'的平分线。

在合同三角形△ABB'与△AC'C中,有∠AB'O=∠ACO。因此A、B'、C、O四点同在一圆上,从而∠COB'= ∠CAB'= 60°。但据题设,∠CA'B= 60°,可见四边形OBA'C有外接圆。这样一来,由A'B=A'C,便知OA'是∠BOC的平分线。

以上的结果,证明了A、O、A'三点是共线的。这就是说,AA'、BB'、CC'三线会于O点。

3° 假定△ABC有一角例如A角大于120° ,如图2(c)。这时BB'、CC'两线将交于△ABC外部一点O(O、A同在BC的一侧),连OA和OA'。仿上面的步骤,可以证明,△ABB'与△AC'C合同及四边形OBA'C有外接圆,因此OA,OA'同为∠BOC的平分线。于是OA和OA'必然合而为一,所以题断成立。

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