更新时间：2024-05-07 11:23
约翰·法雷 是英国一位多才多艺的“杂家”, 生活在拿破仑时代，职业是土地丈量员, 却有着广泛的爱好, 喜欢搜集奇异的石头、矿物, 兴致来潮, 撰写小块科普文章在《哲学杂志》上发表, 题材广泛，涉及到地质、音乐、钱币、车轮、慧星, 偶尔也涉及数学小品。1816年, 当他审读亨利·戈德温所编的“小数商表” 时,忽然有一个问题涌上心头：既约最简真分数有多少呢，能不能把它们按一定的顺序排列出来？兴致所及，急切难忍，他立即推开戈氏冗繁的“商表”，动手排列起来, 一遍又一遍, 没有头绪。这时他想到两点：一是真分数有无限多个, 要“全部”排出, 必须限制分母的大小；二是可按递增的顺序去排列, 容易发现规律。他终于排出来了, 还发现了若干性质。发表后, 立即被当时数学家们抓住, 后来数学家柯西发现这分数串在数学中很有用,并名之为法雷数列。没成想早在14年前, 一位名叫哈罗斯的人, 就发现并公布了自己的研究结果，故名之哈罗斯一法雷数列。
对任意给定的一个自然数n，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上0/1，在最后一个分数之后加上1/1，这个序列称为n级法雷数列，以Fn表示。如F5为：0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1。
实数化分数方法
对于有理数0，我们可以用0/1表示；对于有理数x＜0, 总可以表示为–(p/q), 其中p＞0,q＞0；而对于所有大于等于1的正有理数，总可以表示为n + p/q ( n, p, q为非负整数，q!=1, p＜q)的形式, 以分数形式可表示为(nq + p) /q。因此，转化小于1的正有理数为分数是实数转化为分数的基本问题。由于无理数不能用一个分数来准确的表示，因此，我们可用两个分数a/b, c/d 来逼近这个实数，使得无理数f ＞= a/b且f＜=c/d，a/b称为实数f的下界，c/d称为实数f的上界，求这个下界和上界实际上是找出一个n级法雷数列中两个相邻的元素。下面是化一个小于1的正实数为分数的算法。
Step1: 置实数f 的下界为a/b=0/1, 上界为c/d =1/1。
Step2: 计算出下界和上界之间的数p/q = (a+c)/(b+d)
Step3: 若q＞n（分母大于指定值），计算中止。
若p/q =f，a/b ßp/q , c/d ßp/q, 计算中止。
若p/q ＞ f, 置下界a/b为p/q
若p/q＜ f, 置上界c/d为p/q
Step4, 重复step 2-3
当计算终止时，a/b为这个实数的下界，c/d为这个实数的上界。
如果要转化的实数f小于1/2, 用上述逐步求精的步骤，计算出上下界，迭代次数稍多。我们可用下面的步骤代替step1, 直接找出一个更精确的上下界。
若e= 1/x 的向下取整，则这个实数的下界和上界为1/(e+1)和1/e
误差分析，根据法雷数列性质3我们知道，n级法雷数列中相邻的两个元素可以表示一个区间[a/b, c/d]，前一个元素a/b为区间的下界，后一个元素c/d为区间的上界，这个区间的宽度h =c/d- a/b,满足1/(n*(n-1)) ＜= h ＜=1/n。若运气好的话，一个实数正好落在一个宽度为1/n(n-1) 的区间，这个区间的下界或上界与这个实数的差不超过abs(1/(n*(n-1)))。若运气很差，一个实数恰好小于法雷序列的第2个元素或者最后一个元素。则这个元素的下界和上界与这个实数的差不超过1/n。
{
PROG: frac1
LANG: PASCAL
}
program frac1;
type node=record
x,y:longint;
d:double;
end;
var n,i,j,len:longint;
sn:array[1..8000]of node;
function gcd(x,y:longint):longint;
begin
if x=0 then gcd:=y
else gcd:=gcd(y mod x,x);
end;
procedure qsort(s,t:longint);
var i,j:longint;
mid:double;
te:node;
begin
i:=s;j:=t;mid:=sn[(s+t)div 2].d;
while i＜=j do
begin
while sn[i].d＜mid do inc(i);
while sn[j].d＞mid do dec(j);
if i＜=j then
begin
te:=sn[i];sn[i]:=sn[j];sn[j]:=te;
inc(i);dec(j);
end;
end;
if i＜t then qsort(i,t);
if s＜j then qsort(s,j);
end;
begin
// while not eof do begin
read(n);
sn[1].x:=0;sn[1].y:=1;sn[1].d:=0.0;
sn[2].x:=1;sn[2].y:=1;sn[2].d:=1.0;
len:=2;
for i:=2 to n do
for j:=1 to i-1 do
if gcd(i,j)=1 then //判断是否是真约数
begin
inc(len);
sn[len].x:=j;sn[len].y:=i;sn[len].d:=j/i;
end;
qsort(1,len);
for i:=1 to len do
writeln(sn[i].x,'/',sn[i].y);
//end;
close(input);close(output);
end.
#include＜cstdio＞
using namespace std;
long n;
void dfs(long x1,long y1,long x2,long y2){
if(y1+y2＜=n){
dfs(x1,y1,x1+x2,y1+y2);
dfs(x1+x2,y1+y2,x2,y2);
}
}
int main()
{
dfs(0,1,1,1);
return 0;
}