更新时间：2022-08-25 15:29
泰希米勒空间，是指黎曼曲面复结构的形变所组成的空间。理论主要是用拟共形映射为工具来研究黎曼曲面的模问题，这种研究与克莱因群以及低维拓扑问题有一定的联系。
第一个给出黎曼曲面的模问题的实质进展的人是泰希米勒（O.Teichm ller）。
他在 20 世纪 30 年代末引进了 的一个覆盖空间 其中 是一个间断群，称为模群(moduli group)。于是，他把问题转化为对 的研究，他运用拟共形映射理论，证明了 同胚于 维欧几里得空间中的单位球内部。
阿尔福斯(L.V.Ahlfors) 在20 世纪50年代进一步研究了 ，并称之为泰希米勒空间。他证明了泰希米勒空间 是 维的复流形，而其结构使 构为一个 维的解析空间。
后来，贝尔斯 ( L.Bers) 进一步证明了 可以全纯地嵌入 中，成为有界域。
在阿尔福斯与贝尔斯的影响下，人们对 与 作了广泛而深入的研究，而这种研究远远超出了复分析的范围。
20 世纪 70 年代末，瑟斯顿（W.P.Thurston）建立了这种研究与低维拓扑的联系。
沙立文（D.Sullivan）则建立了它与复动力系统的联系，物理学家们同时发现了模空间在弦理论中的意义。
[moduli space of Riemann surface]
一个固定亏格的紧黎曼曲面的共形等价类的参数空间（parametric space）。
它源自黎曼在1857 年的一个猜想：全体亏格（genus）为 的黎曼曲面的共形等价类所组成的空间 ，可以用 个复参数全纯描述。这里用来代表黎曼曲面等价类参数，称为它的模(modulus)。
由黎曼曲面的黎曼-罗赫定理可以推出，亏格为零的紧黎曼曲面必然共形等价于黎曼球面。因此， 中只有一个元素。另外，由黎曼曲面的阿贝尔定理，可以推出任何一个亏格为 1 的黎曼曲面共形等价于 其中 是一个虚部大于零的复数，而 是一个由 确定的格群 。根据这一结果，人们不难将 的参数空间取为 .其中 U 为上半平面，而Mod为模变换群(moduli transformation group)。
这样，唯独只有g > 1的情形， 的参数化问题成为一大难题，这就是著名的黎曼曲面的模问题。
对于泰希米勒空间的研究导致了万有泰希米勒空间的概念。所谓万有泰希米勒空间实际上是指满足规范条件的在单位圆内单叶解析而在单位圆外能拟共形开拓的函数所组成的空间。
对于泰希米勒空间的边界的研究导致了对边界群的探讨。这是一类特殊的克莱因群，它只有一个单连通的不变分支。此外，W.P.瑟斯顿基于他对曲面叶状结构的研究，给出了空间Tg的一种紧化，并在此基础上证明了关于紧曲面上保向自同胚的分类定理。
伯斯给瑟斯顿定理以分析的证明，并相应地给出了模群元素的分类。