于是，经过一番推理计算，海森堡得出：△q△p≥ħ/2（ħ=h/2π）。海森堡写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。”

海森堡还通过对确定原子磁矩的斯特恩-盖拉赫实验的分析证明，原子穿过偏转所费的时间△T越长，能量测量中的不确定性△E就越小。再加上德布罗意关系λ=h/p，海森堡得到△E△T≥h/4π，并且作出结论：“能量的准确测定如何，只有靠相应的对时间的测不准量才能得到。”

在量子力学里，不确定性原理（Uncertainty principle）表明，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性与动量的不确定性遵守不等式

其中，h 是普朗克常数。

维尔纳·海森堡于1927年发表论文给出这原理的原本启发式论述，因此这原理又称为“海森堡不确定性原理”。根据海森堡的表述，测量这动作不可避免的搅扰了被测量粒子的运动状态，因此产生不确定性。同年稍后，厄尔·肯纳德（Earl Kennard）给出另一种表述。隔年，赫尔曼·外尔也独立获得这结果。按照肯纳德的表述，位置的不确定性与动量的不确定性是粒子的秉性，无法同时压抑至低于某极限关系式，与测量的动作无关。这样，对于不确定性原理，有两种完全不同的表述。追根究底，这两种表述等价，可以从其中任意一种表述推导出另一种表述。

长久以来，不确定性原理与另一种类似的物理效应（称为观察者效应）时常会被混淆在一起。观察者效应指出，对于系统的测量不可避免地会影响到这系统。为了解释量子不确定性，海森堡的表述所援用的是量子层级的观察者效应。之后，物理学者渐渐发觉，肯纳德的表述所涉及的不确定性原理是所有类波系统的内秉性质，它之所以会出现于量子力学完全是因为量子物体的波粒二象性，它实际表现出量子系统的基础性质，而不是对于当今科技实验观测能力的定量评估。在这里特别强调，测量不是只有实验观察者参与的过程，而是经典物体与量子物体之间的相互作用，不论是否有任何观察者参与这过程。

类似的不确定性关系式也存在于能量和时间、角动量和角度等物理量之间。由于不确定性原理是量子力学的重要结果，很多一般实验都时常会涉及到关于它的一些问题。有些实验会特别检验这原理或类似的原理。例如，检验发生于超导系统或量子光学系统的“数字－相位不确定性原理”。对于不确定性原理的相关研究可以用来发展引力波干涉仪所需要的低噪声科技。

该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差（标准差）的乘积必然大于常数h/4π（h是普朗克常数）是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律——以共轭量为自变量的概率幅函数（波函数）构成傅立叶变换对；以及量子力学的基本关系（ ），是物理学中又一条重要原理。

紧跟在汉斯·克拉默斯（Hans Kramers）的开拓工作之后，1925年6月，维尔纳·海森堡发表论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》（Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations），创立了矩阵力学。旧量子论渐渐式微，现代量子力学正式开启。矩阵力学大胆地假设，关于运动的经典概念不适用于量子层级。在原子里的电子并不是运动于明确的轨道，而是模糊不清，无法观察到的轨域；其对于时间的傅里叶变换只涉及从量子跃迁中观察到的离散频率。

海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观察到的物理量才具有物理意义，才可以用理论描述其物理行为，其它都是无稽之谈。因此，他避开任何涉及粒子运动轨道的详细计算，例如，粒子随着时间而改变的确切运动位置。因为，这运动轨道是无法直接观察到的。替代地，他专注于研究电子跃迁时，所发射的光的离散频率和强度。他计算出代表位置与动量的无限矩阵。这些矩阵能够正确地预测电子跃迁所发射出光波的强度。

同年6月，海森堡的上司马克斯·玻恩，在阅读了海森堡交给他发表的论文后，发觉了位置与动量无限矩阵有一个很显著的关系──它们不互相对易。这关系称为正则对易关系，以方程表示为：

在那时，物理学者还没能清楚地了解这重要的结果，他们无法给予合理的诠释。

小泽不等式及其验证

随着科技进步，20世纪80年代以来，有声音开始指出该定律并不是万能的。日本名古屋大学教授小泽正直在2003年提出“小泽不等式”，认为“测不准原理”可能有其缺陷所在。为此，其科研团队对与构成原子的中子“自转”倾向相关的两个值进行了精密测量，并成功测出超过所谓“极限”的两个值的精度，使得小泽不等式获得成立，同时也证明了与“测不准原理”之间存在矛盾。

日本名古屋大学教授小泽正直和奥地利维也纳工科大学副教授长谷川祐司的科研团队通过实验发现，大约在80年前提出的用来解释微观世界中量子力学的基本定律“测不准原理”有其缺陷所在。该发现在全世界尚属首次。这个发现成果被称作是应面向高速密码通信技术应用和教科书改换的形势所迫，于2012年1月15日在英国科学杂志《自然物理学》（电子版）上发表。

弱测量技术

多伦多大学（the University of Toronto）量子光学研究小组的李·罗泽马（Lee Rozema）设计了一种测量物理性质的仪器，其研究成果发表在2012年9月7日当周的《物理评论通讯》（Physical Review Letters）周刊上。

为了达到这个目标，需要在光子进入仪器前进行测量，但是这个过程也会造成干扰。为了解决这个问题，罗泽马及其同事使用一种弱测量技术（weak measurement），让所测对象受到的干扰微乎其微，每个光子进入仪器前，研究人员对其弱测量，然后再用仪器测量，之后对比两个结果。发现造成的干扰不像海森贝格原理中推断的那么大。

这一发现是对海森贝格理论的挑战。2010年，澳大利亚格里菲斯大学（Griffith University）科学家伦德（A.P. Lund）和怀斯曼（Howard Wiseman）发现弱测量可以应用于测量量子体系，然而还需要一个微型量子计算机，但这种计算机很难生产出来。罗泽马的实验包括应用弱测量和通过“簇态量子计算”技术简化量子计算过程，把这两者结合，找到了在实验室测试伦德和怀斯曼观点的方法。

海森堡与玻尔共同讨论问题

1926年，海森堡任聘为哥本哈根大学尼尔斯·玻尔研究所的讲师，帮尼尔斯·玻尔做研究。在那里，海森堡表述出不确定性原理，从而为后来知名为哥本哈根诠释奠定了的坚固的基础。海森堡证明，对易关系可以推导出不确定性，或者，使用玻尔的术语，互补性：不能同时观测任意两个不对易的变量；更准确地知道其中一个变量，则必定更不准确地知道另外一个变量。

在他著名的1927年论文里， 海森堡写出以下公式

这公式给出了任何位置测量所造成的最小无法避免的动量不确定值。虽然他提到，这公式可以从对易关系导引出来，他并没有写出相关数学理论，也没有给予和确切的定义。他只给出了几个案例（高斯波包）的合理估算。 在海森堡的芝加哥讲义里，他又进一步改善了这关系式：

1927年厄尔·肯纳德（Earl Kennard）首先证明了现代不等式：

其中， 是位置标准差， 是动量标准差， 是约化普朗克常数。

1929年，霍华德·罗伯森（Howard Robertson）给出怎样从对易关系求出不确定关系式。

有很久一段时间，不确定性原理被称为“测不准原理”，但实际而言，对于类波系统内秉的性质，不确定性原理与测量准确不准确并没有直接关系（请查阅本条目稍前关于观察者效应的内容），因此，该译名并未正确表达出这原理的内涵。另外，英语称此原理为“Uncertainty Principle”，直译为“不确定性原理”，并没有“测不准原理”这种说法，其他语言与英语的情况类似，除中文外，并无“测不准原理”一词。现今，在中国大陆的教科书中，该原理的正式译名也已改为“不确定性关系”（Uncertainty Relation）。

海森堡在创立矩阵力学时，对形象化的图象采取否定态度。但他在表述中仍然需要使用“坐标”、“速度”之类的词汇，当然这些词汇已经不再等同于经典理论中的那些词汇。可是，究竟应该怎样理解这些词汇新的物理意义呢？海森堡抓住云室实验中观察电子径迹的问题进行思考。他试图用矩阵力学为电子径迹作出数学表述，可是没有成功。这使海森堡陷入困境。他反复考虑，意识到关键在于电子轨道的提法本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴串形成的雾迹，水滴远比电子大，所以人们也许只能观察到一系列电子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。因此，在量子力学中，一个电子只能以一定的不确定性处于某一位置，同时也只能以一定的不确定性具有某一速度。可以把这些不确定性限制在最小的范围内，但不能等于零。这就是海森堡对不确定性最初的思考。据海森堡晚年回忆，爱因斯坦1926年的一次谈话启发了他。爱因斯坦和海森堡讨论可不可以考虑电子轨道时，曾质问过海森堡：“难道说你是认真相信只有可观察量才应当进入物理理论吗？”对此海森堡答复说：“你处理相对论不正是这样的吗？你曾强调过绝对时间是不许可的，仅仅是因为绝对时间是不能被观察的。”爱因斯坦承认这一点，但是又说：“一个人把实际观察到的东西记在心里，会有启发性帮助的……在原则上试图单靠可观察量来建立理论，那是完全错误的。实际上恰恰相反，是理论决定我们能够观察到的东西……只有理论，即只有关于自然规律的知识，才能使我们从感觉印象推论出基本现象。”

海森堡在1927年的论文一开头就说：“如果谁想要阐明‘一个物体的位置’（例如一个电子的位置）这个短语的意义，那么他就要描述一个能够测量‘电子位置’的实验，否则这个短语就根本没有意义。”海森堡在谈到诸如位置与动量，或能量与时间这样一些正则共轭量的不确定关系时，说：“这种不确定性正是量子力学中出现统计关系的根本原因。”

海森堡的测不准原理得到了玻尔的支持，但玻尔不同意他的推理方式，认为他建立测不准关系所用的基本概念有问题。双方发生过激烈的争论。玻尔的观点是测不准关系的基础在于波粒二象性，他说：“这才是问题的核心。”而海森堡说：“我们已经有了一个贯彻一致的数学推理方式，它把观察到的一切告诉了人们。在自然界中没有什么东西是这个数学推理方式不能描述的。”玻尔则说：“完备的物理解释应当绝对地高于数学形式体系。”

玻尔更着重于从哲学上考虑问题。1927年玻尔作了《量子公设和原子理论的新进展》的演讲，提出著名的互补原理。他指出，在物理理论中，平常大家总是认为可以不必干涉所研究的对象，就可以观测该对象，但从量子理论看来却不可能，因为对原子体系的任何观测，都将涉及所观测的对象在观测过程中已经有所改变，因此不可能有单一的定义，平常所谓的因果性不复存在。对经典理论来说是互相排斥的不同性质，在量子理论中却成了互相补充的一些侧面。波粒二象性正是互补性的一个重要表现。测不准原理和其它量子力学结论也可从这里得到解释。

科学理论，特别是牛顿引力论的成功，使得法国科学家拉普拉斯侯爵在19世纪初论断，宇宙是完全被决定的。他认为存在一组科学定律，只要我们完全知道宇宙在某一时刻的状态，我们便能依此预言宇宙中将会发生的任一事件。例如，假定我们知道某一个时刻的太阳和行星的位置和速度，则可用牛顿定律计算出在任何其他时刻的太阳系的状态。这种情形下的宿命论是显而易见的，拉普拉斯进一步假定存在着某些定律，它们类似地制约其他每一件东西，包括人类的行为。不确定原理实质是对因果论的一种更加肯定，可想而知，任何一种在微小的观测都可以使对象的状态发生改变，从而使原对象的体系进入一个新的状态量，而在未对其干扰前他的状态量却会沿着一个自身作用的方向发展，（当然它的方向对我们来说是不确定的，这个不确定实质是对于我们的观测而言的。），干扰（观测）却使他开始了一个“新的纪元”，而这个干扰结果对于对象而言却是确定的，它会使对象开始一个新状态，当然，这个新的结果又会作用于其他体系，从而影响整个宇宙。简言之可以这么说：由于你的一个喷嚏，使气流发生强运动，通过气流之间力的作用，最终使美国的一朵云达到了降水的条件，由于你的一个喷嚏，使美国降了一场雨！而没有你的喷嚏，那个云的运动也是一定的，降水就不可能了。所谓蝴蝶效应，其实也是这个道理，蝴蝶在太平洋那边扇了下翅膀，另一边可能因此刮起台风。

妄想通过物理定律推算未来事件的努力是可笑的，从计算机学来看，这种推算是一种无限递归，终止递归的条件是得到未来某一时刻的状态，但算法需要知道自己得出结果后计算者对环境的影响（必须考虑）因而陷入递归，因为终止条件是无法达成的，故算法无法完成。从可行性来看，我们生活的世界好比一台400mips的电脑环境，它是不可能模拟出一台500mips的虚拟机的。故未来不可知。

很多人强烈地抵制这种科学决定论，他们感到这侵犯了“上帝”或神秘力量干涉世界的自由，直到20世纪初，这种观念仍被认为是科学的标准假定。这种信念必须被抛弃的一个最初的征兆，它是由英国科学家瑞利勋爵和詹姆斯·金斯爵士所做的计算，他们指出一个热的物体——例如恒星——必须以无限大的速率辐射出能量。按照当时我们所相信的定律，一个热体必须在所有的频段同等地发出电磁波（诸如无线电波、可见光或X射线）。例如，一个热体在1万亿赫兹到2万亿赫兹频率之间发出和在2万亿赫兹到3万亿赫兹频率之间同样能量的波。而既然波的频谱是无限的，这意味着辐射出的总能量必须是无限的。

为了避免这显然荒谬的结果，德国科学家马克斯·普朗克在1900年提出，光波、X射线和其他波不能以任意的速率辐射，而必须以某种称为量子的形式发射。并且，每个量子具有确定的能量，波的频率越高，其能量越大。这样，在足够高的频率下，辐射单独量子所需要的能量比所能得到的还要多。因此，在高频下辐射被减少了，物体丧失能量的速率变成有限的了。

量子假设可以非常好地解释所观测到的热体的发射率，直到1926年另一个德国科学家威纳·海森堡提出著名的不确定性原理之后，它对宿命论的含义才被意识到。为了预言一个粒子未来的位置和速度，人们必须能准确地测量它现时的位置和速度。显而易见的办法是将光照到这粒子上，一部分光波被此粒子散射开来，由此指明它的位置。然而，人们不可能将粒子的位置确定到比光的两个波峰之间距离更小的程度，所以必须用短波长的光来测量粒子的位置。测量粒子位置，可以通过“六方镜”得到。“六方镜”，上下各一个观测镜，左右各一个观测镜，前后各一个观测镜。由普朗克的量子假设，人们不能用任意少的光的数量，至少要用一个光量子。这量子会扰动这粒子，并以一种不能预见的方式改变粒子的速度。而且，位置测量得越准确，所需的波长就越短，单独量子的能量就越大，这样粒子的速度就被扰动得越厉害。换言之，你对粒子的位置测量得越准确，你对速度的测量就越不准确，反之亦然。海森堡指出，粒子位置的不确定性乘上粒子质量再乘以速度的不确定性不能小于一个确定量——普朗克常数。并且，这个极限既不依赖于测量粒子位置和速度的方法，也不依赖于粒子的种类。海森堡不确定性原理是世界的一个基本的不可回避的性质。

不确定性原理对我们世界观有非常深远的影响。甚至到了50多年之后，它还不为许多哲学家所鉴赏，仍然是许多争议的主题。不确定性原理使拉普拉斯科学理论，即一个完全确定性的宇宙模型的梦想寿终正寝：如果人们甚至不能准确地测量宇宙当前的状态，那么就肯定不能准确地预言将来的事件（否认观察者可以确定未来）！但客观来说宇宙当前的状态是确定的无疑（承认客观未来的确定性）。我们仍然可以想像，对于一些超自然的生物，存在一组完全地决定事件的定律，这些生物能够不干扰宇宙地观测它的状态。然而，对于我们这些芸芸众生而言，这样的宇宙模型并没有太多的兴趣，因为对于我们这些观察者来说未来的确是不可预知的。看来，最好是采用称为奥铿剃刀的经济学原理，将理论中不能被观测到的所有特征都割除掉。20世纪20年代。在不确定性原理的基础上，海森堡、厄文·薛定谔和保尔·狄拉克运用这种手段将力学重新表达成称为量子力学的新理论。在此理论中，粒子不再有分别被很好定义的、能被同时观测的位置和速度，而代之以位置和速度的结合物的量子态。

一般而言，量子力学并不对一次观测预言一个单独的确定结果。代之，它预言一组不同的可能发生的结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量的类似的系统作同样的测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果作出预言。因而量子力学为科学引进了不可避免的非预见性或偶然性。尽管爱因斯坦在发展这些观念时起了很大作用，但他非常强烈地反对这些。他之所以得到诺贝尔奖就是因为对量子理论的贡献。即使这样，他也从不接受宇宙受机遇控制的观点；他的感觉可表达成他著名的断言：“上帝不玩弄骰子。”然而，大多数其他科学家愿意接受量子力学，因为它和实验符合得很完美。它的的确确成为一个极其成功的理论，并成为几乎所有现代科学技术的基础。它制约着晶体管和集成电路的行为，而这些正是电子设备诸如电视、计算机的基本元件。它并且是现代化学和生物学的基础。物理科学未让量子力学进入的唯一领域是引力和宇宙的大尺度结构。