更新时间：2022-08-25 14:37
三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。设 a ，b ，c 是空间中三个向量，则 (a×b)·c 称为三个向量 a ，b ，c 的混合积，记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc)。
标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。
设 为三个向量，则标量三重积的定义为 .
以 b和 c来表示底面的边，则根据叉积的定义，底面的面积A为
，其中 是b与c之间的角，而高h 为 ，其中 是 与h之间的角。
的大小限定为 。而向量 与a之间的角 则有可能大于90°（ ）。也就是说，由于 与 h 平行， 的值要么等于 ，要么等于 。因此
，且 。
我们得出结论：
，
于是，根据点积的定义，它等于 的绝对值，即
。
证毕。
向量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积，其结果是个向量。
对于三个向量 ，向量三重积的定义为
。
值得注意的是，一般来说，
。
以下恒等式，称作三重积展开或拉格朗日公式，对于任意向量 均成立：
英文中有对于第一式有助记口诀BAC-CAB (BACK-CAB，后面的出租车)，但是不容易记住第一式跟第二式的变化，很容易搞混。 观察两个公式，可得到以下三点：
两个分项都带有三个向量 （ ）。
三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合。
中间的向量所带的系数一定为正（此处为向量b）。
这是一个拉普拉斯－德拉姆算子的特殊情形。
计算平行六面体的体积
如图1所示，当a、b、c向量组成右手系时，平行六面体的体积V=[a b c]。