(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

集合论中的基本概念之一。设S为任意集合，若I⊆P(S)且满足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，则X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，则Y∈I;

则称I为集合S上的理想。理想的概念在现代数学的几乎每个分支中均有应用，且有许多变体或引申。例如，布尔代数上的理想即为集合上的理想的一种变体。设B为任意布尔代数，若B的一个子集I满足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分别为布尔代数B中的零元与么元);

2.对任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.对任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

则称I为B上的理想。

理想概念是斯通(Stone，M.H.)于1934年提出的。

数域是一种可进行除法运算的数环。至少含两个数的数环F，若对任意a，b∈F，b≠0，a/b∈F，则称F是一个数域。

全体有理数集、全体实数集、全体复数集都构成数域。全体形如a+b(a，b有理数)的数集构成数域。整数环不是数域，偶数环也不是数域。

任何数域都包含有理数域。复数域是最大的数域;有理数域是最小的数域。任何数域中都含有无穷多个有理数，特别，都含有无穷多个整数。

在数域上可以讨论解线性方程组.给定数域F上的线性方程组(即系数和常数项都是F中的数)的可解性，并不因F的扩大而改变，即若该方程组在F中无解，则在比F更大的数域E中仍然无解；若在F中有唯一解，则它也是在E中的唯一解;若在F中有无穷多解，则在E中也有无穷多解(虽然可能得到不在F中的解)。

在初中刚刚学过有理数之后，就开始学习解线性方程组，而它的结果，在实数、复数概念引入之后并不改变。

但是，讨论数域F上多项式f(x)在F中的根时，由于多项式分解与所在数域F有关。因此在比F更大的数域E上，f(x)可能会有本质上不同于F中的根。如f(x)=x+1在有理数域Q及实数域R中都没有根，而在复数域C中有根i及-i。自然，这也可以说成：f(x)=x+1在Q及R上不可分解(不可约)，而在C上，f(x)=(x+i)(x-i)。

非退化为{0}且没有0因子的交换环称为整环.

环Z是整环. 设n为非零自然数;为使环Z/nZ为整环，必须且只须n是素数. 任一交换体是整环对任一整环A，系数取自A中含一个未定元的全体多项式之环A[X]，系数取自A中的全体形式级数之环A[[X]]都是整环。由此推知，系数取自交换体K中含p个未定元的全体多项式之环K[X1，X2，…，Xp]及含p个未定元的全体形式级数之环K[[X1，X2，…，Xp]]都是整环。

戴德金环是理想可以惟一素分解的环。最重要的例子是：数域的整数环、光滑曲线的坐标环。按定义，满足下述三条件的整环R称为戴德金环：

1.R是诺特环。

2.R的真素理想均为极大理想。

3.R在其商域F(≠R)中是整闭的。

事实上，对每个戴德金环R及其商域F，总存在F的离散素除子集S使{F，S}为普通算术域而R为S整数环。整环R(≠其商域F)为戴德金环当且仅当其每个真理想均为极大理想的积。也等价于其每个分式理想均可逆，即分式理想全体构成群。戴德金环R在其商域F的有限可分扩张E中的整闭包RE也为戴德金环，且E是RE的商域。

主理想整环是比单一分解环范围更窄的整环类。若一个环R的任意理想都是主理想，则称R为主理想环。若整环R是主理想环，则R称为主理想整环。整数环Z及域上一元多项式环都是主理想整环。主理想整环必为单一分解环，反之不真。