更新时间：2022-08-25 16:51
函数exp(1/z)，在z=0处具有本性奇点。z的色相表示它的辐角，而发光度则表示绝对值。这个图像说明了接近于奇点时，可以取得任何非零的值。
皮卡小定理说明，如果函数 是整函数且不是常数，则 的值域或者是整个复平面，或者只去掉一个点。 这个定理在1879年证明。它强化了刘维尔定理：任何不是常数的整函数都一定是无界的。
皮卡的原始证明利用了模函数（Modular lambda function）。
证明概要如下：
若 的值域不包含复平面上的两个点，不失一般性地，可以假设 的值域不包含0和1，设 是其值域中的点，在这个点附近，可以选取模函数 的逆的某个单值解析分支，记作 。利用模函数的通用覆盖性和单值性定理，可以将 点（ ）附近定义的复合映射 解析延拓到整个复平面上，从而得到一个在复平面上单值解析但有界的函数。根据刘维尔定理，该函数为常函数。因此 也是常函数。
如果 在点w具有本性奇点，那么在任何含有w的开集中，对任意非∞的复数值A，有无穷多个z使得 ，A最多只有一个例外。 以上定理是说，全纯函数在本性奇点的任意邻域内，“无穷多次”地取到每一个有限的复值，至多有一个例外值。 这个定理强化了魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理，它只保证了f的值域在复平面内是稠密的。
这个“唯一的例外”实际上在两个定理中都是需要的：指数函数 是一个整函数，永远不能是零。 在0处具有本性奇点，但仍然不能取得零。
皮卡大定理在一个更一般的形式中也是正确的，可以应用于亚纯函数：如果M是一个黎曼曲面，w 是M上的一个点，表示黎曼球面，是一个全纯函数，在w处具有本性奇点，那么在M的任何含有w的开子集中，函数f都可以取得除了两个点以外的所有的点。
例如，亚纯函数在z = 0处具有本性奇点，在0的任何邻域内都无穷多次取得值∞；但它无法取得0或1的值。
皮卡小定理可以从皮卡大定理推出，因为整函数要么是多项式，要么在无穷远处具有本性奇点。
皮卡定理是两个不同的数学定理的泛称，由法国数学家埃米尔·皮卡证明。这两个定理都涉及解析函数的值域。