特别是当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常简洁漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式3被称为超级简便的公式。盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。

范盛金发明的“一元三次方程的新求根公式与新判别法”于1989年发表在《海南师范学院学报》（自然科学版）第2期。

一元三次方程

重根判别式

总判别式Δ=B2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式1：

当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式2：

其中 ， 。

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式3：

其中

当Δ=B2－4AC<0时

盛金公式4：

其中 ， （A>0，－1

当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭复根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。

盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。

盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：反之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，（A≠0）。简明易记，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方）。盛金公式3手算解题效率高。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子（－B±（B2－4AC)^（1/2））/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE,Hainan Province,China. Vol. 2,No. 2；Dec，1989），A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .

盛金公式的推导参见《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月）（编辑单位:海南师范学院编辑部;国内刊号:CN46-1014;定 价:0.80元;作 者:范盛金;出版日期:1989年12月20日:发行范围:全国公开发行）文献资料图片。

学习“盛金公式解题法”要正确理解。

1、要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，不可分割。

例如：

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式3：

X1=－b/a+K；

X2=X3=－K/2，

其中K=B/A，（A≠0）。

(注：根据盛金定理7，盛金公式3一定不存在A=0的值)。

这里A≠0，是指分母不能为0，因为分母为0无意义。

但并非A≠0的一切值都有可能出现在盛金公式3。

注意：A≠0与A≤0是不一样的。

例如：－5≠0，但是－5<0。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。

根据盛金定理7，盛金公式3一定不会出现A=－5这样的值。

举一个具体的例子：

X3－2X2+3X+R=0

a=1，b=－2，c=3，d=R。

A=－5<0。

根据盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0。

可知，无论d=R为任何实数，这个方程必定有Δ>0。

如：取R=1，则方程为

X3－2X2+3X+1=0

a=1，b=－2，c=3，d=1。

A=－5；B=－15；C=15，Δ=525>0。

取R=±1，R=±2，……，这样继续下去，根据盛金定理5，这个方程永远都是Δ>0。

就是说，这个方程不可能出现Δ=0的值。显然，A=－5<0这样的值不可能出现在盛金公式3。

根据盛金定理5及盛金定理7，这很清楚：A=－5<0这样的值，只有可能出现在盛金公式2，而不可能出现在盛金公式3。

2、解题过程中要正确理解和掌握方法，有利于提高解题效率。

⑴、当A=B=0时，有Δ=0。但此时没有必要计算Δ=0的值。

根据盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。

根据盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。

所以，只要当A=B=0时，没有必要计算C与Δ的值，直接套用盛金公式1解题即可。

⑵、当Δ=0时，若B≠0，根据盛金判别法或盛金定理7，直接套用盛金公式3解题即可。

就是说，当A=B=0时，（有Δ=0），直接套用盛金公式1解题；当Δ=0时，若B≠0，直接套用盛金公式3解题。

总之，学习“盛金公式解题法”要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，才会收到更好的学习效果。

其实很简单，盛金公式、盛金判别法、盛金定理是有机联系的、是清晰的，在解题中直接套用（对号入座）就可以了。

运用盛金公式解题的步骤：

1、写出系数a、b、c、d的值（以免当b=0时，误把c的值当b的值输入计算器）；

2、按顺序求出A、B、C、Δ的值；

3、根据盛金判别法套用相应的盛金公式即可得出正确结果。

举例：

（使用科学计算器辅助运算）

例1、解方程X3+5.4X2+9.72X+5.832=0

解：a=1，b=5.4，c=9.72，d=5.832。

A=0；B=0。

∵A=B=0，∴应用盛金公式1求解，得：

X1=X2=X3=－1.8。

例2、解方程2X3+11X2+182X+255=0，

解：a=2，b=11，c=182，d=255。

A=－971；B=－2588；C=24709，Δ=102667500。

∵Δ>0，∴应用盛金公式2求解。

Y1=27480.49167；Y2=－33314. 49167。

把有关值代入盛金公式2，得：

X1=－1.5；X2,3=－2±9i。

例3、解方程X3+5.5X2+9.92X+5.888=0

解：a=1，b=5.5，c=9.92，d=5.888。

A=0.49；B=1.568；C=1.2544，Δ=0。

∵Δ=0，∴应用盛金公式3求解。

K=3.2。

把有关值代入盛金公式3，得：

X1=－2.3；X2=X3=－1.6。

例4、解方程100X3－420X2+467X－105=0

解：a=100，b=－420，c=467，d=－105。

A=36300；B=－101640；C=85789，Δ<0。

∵Δ<0，∴应用盛金公式④求解。

θ=90°。

把有关值代入盛金公式④，得：

X1=3/10；X2=5/2；X3=7/5。

经用韦达定理检验，以上结果正确（过程略）。

例5、一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为67.4dm，且宽=高，满储水量为9539.712(dm)^3，立体对角线为1706.92dm，问：如何施工才能达到设计要求？

解：设取长、宽、高分别为X1dm、X2dm、X3dm，依题意：

X1+X2+X3=67.4；

X1X2X3=9539.712；

X12+X22+X32=1706.92。

解这个方程组。

根据韦达定理，得一元三次方程：

X3－67.4X2+1417.92X－9539.712=0

a=1，b=－67.4，c=1417.92，d=－9539.712。

A=289；B=－9710.4；C=81567.36，Δ=0。

根据盛金判别法，此方程有三个实根，其中两个相等。

应用盛金公式③求解。

K=－33.6。

把有关值代入盛金公式③，得：

X1=33.8（dm）；X2=X3=16.8（dm）。

经检验，结果正确。

∵ 宽=高，

∴ 应取长为33.8dm；宽=高=16.8dm来进行施工。

只要熟练操作科学计算器，就可方便运用盛金公式解任意实系数的一元三次方程。

C++代码如下：

传入四个变量abcd，输出方程的解（仅输出不重复的实数解）