更新时间：2023-02-01 18:18
相交弦(intersecting chords)是圆内相关的两条弦。在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦，圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。如弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD。如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
相交弦是圆内相关的两条弦。在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦。如图1，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，则AB和CD为⊙O的相交弦。
相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理还可以叙述为“圆的弦相交于圆内的一点，各弦被这点内分成的两线段长的乘积相等”。
如图1，⊙O中两弦AB、CD相交于点P，则AP·PB=CP·PD。
相交弦定理揭示了圆内两条相交的弦的性质，即各弦被交点分成的两条线段长的积相等。这个定理在解决圆中证明及计算问题时经常用到。
【例1】圆内有相交两弦，一弦长为8cm，并被交点平分，另一弦被交点分成1 :4两部分，求另一弦的长。
解: 设另一弦被交点分成的两部分的长分别为a和4a。
依据相交弦定理，得a·4a=16。
解得 a=±2 (舍负)。
所以另一弦的长为(a+4a)=5a=5×2=10(cm)。
【例2】如图2，已知:弦AB、CD相交于点P，且P是AB的中点，若PC=4，PD=9，求AB的长。
解: 因为AB、CD相交于P，
所以PA·PB=PC·PD。
因为P是AB的中点，
所以PA=PB。
因为PC=4，PD=9，
所以PA2=4×9= 36。
所以PA=6。
所以AB=2PA= 12。
相交弦定理的推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。若a:b=b:c, 则称b为a、c的比例中项。这个推论揭示了弦与直径垂直相交的性质。推论在解题中有较广泛的应用，并给出了作两条已知线段比例中项的方法。