可逆矩阵

更新时间:2024-09-02 14:47

矩阵A为n阶方阵,若存在n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位阵,则称A为可逆阵,B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在,则称为可逆矩阵或非奇异矩阵,且其逆矩阵唯一。

定义

设是数域,,若存在,使得,为单位阵,则称为可逆阵,为的逆矩阵,记为。若方阵的逆阵存在,则称为可逆矩阵或非奇异矩阵

性质

(1)若为可逆矩阵,则的逆矩阵是唯一的。

(2)设、是数域上的阶矩阵,。

①若可逆,则和也可逆,且,;

②若可逆,则可逆,且;

③、均可逆。

常用方法

(1)判断或证明可逆的常用方法:

①证明;

②找一个同阶矩阵,验证;

③证明的行向量(或列向量)线性无关。

(2)求的方法:

①公式法:,其中为矩阵的伴随矩阵

②初等变换法:对作初等变换,将化为单位阵,单位矩阵就化为。

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