2.对C的任两对象A，B，有一个确定的集合(可为空集)Hom(A，B)，其元素称为由A到B的态射，记为f∈Hom(A，B)或f：A→B。

3.对给定的f∈Hom(A，B)与g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，称为f与g的合成。

4.Hom(A，B)与Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D。

5.态射合成满足结合律。

6.对C的任意对象A，Hom(A，A)至少有一个元素εA使对σ∈Hom(A，B)恒有σεA=σ=εBσ，称εA为A的恒等态射(εB为B的恒等态射)。

例如，以一切集合作对象，以集合映射作态射，则得集合范畴Set(简称集范畴)。以一切拓扑空间作对象，以连续映射作态射，则得拓扑空间范畴Top。以一切环为对象，以环同态作为态射得环范畴Ring。类似地，可得群范畴Group，阿贝尔群范畴AG，环R上的左R模范畴RM等.以自然数为对象，a|b(表示a整除b)时定义Hom(a，b)有惟一元素φab，ab时定义Hom(a，b)=(空集)，也得到一个范畴.一般地，对每个拟序集都可仿此定义范畴。

代数学的一个重要分支。数学的各个领域都有各自的研究对象。例如，集合论研究集合与映射；线性代数研究线性空间与线性映射；群论研究群与群同态；拓扑学研究拓扑空间与连续映射。在20世纪中期，数学家们认为有必要将各个领域中的研究对象各自合在一起成为一个整体，使之成为一种数学系统，这就是范畴思想。于是，所有的集合与映射组成集合范畴；所有的群与群同态组成群范畴。在各个范畴之间往往存在着内在联系与变换。例如，一个群模去其换位子群的商群(称为交换化)得到一个交换群，从而交换化成为群范畴到交换群范畴的一个变换，且这个变换保持着群同态及其合成。事实上，这就是函子的思想。在域F上的线性空间范畴中，任一线性空间L必有惟一的对偶空间L=HomF(L，F)，“*”可看成这个线性空间范畴到自身的一个变换。尽管当L为有限维时L与L是同构的(记这个同构为τ：L→L)，但这个同构不是“自然”的。即，若L1与L2间有一个同构α：L1→L2，“*”诱导出L2到L1的一个同构为α，但对L1中的元素x来说，τα(x)一般地并不等于ατ(x)。这就引起“自然性”的研究。艾伦伯格(Eilenberg，S.)与麦克莱恩(MacLane，S.)于1945年发表的论文《自然等价的一般理论》为范畴论的建立作出了奠基性的工作。

在某种意义上来说，范畴论提炼了数学(甚至其他学科)各分支的共性，是比集合论更高一个层次的数学公共语言与工具。它使数学各个领域的研究通过箭头图做了一致化与简单化的处理，更加显示其本质上的东西，同时使许多数学系统的性质通过图的泛性质得到了深刻的刻画。戈德门特(Godement，R.)于1958年将范畴论应用到拓扑学，埃雷斯曼(Ehresmann，C.)于1958年将范畴论应用到微分几何，格罗腾迪克(Grothendieck，A.)与迪厄多内(Dieudonné，J.)于1960年将范畴论应用到代数几何.现在，范畴论在上述学科及同调代数、代数K理论、模论、环论等学科中都得到了成功的应用。应用范畴论时，关键是先搞清研究问题以什么作对象，以什么作态射。研究不同范畴之间的关系时，关键在于找到适当的函子。范畴论的核心是函子理论。艾伦伯格与麦克莱恩为了搞清某些同构(等价)的“自然”变换之精确含义，于1945年引入范畴与函子的概念去定义自然变换。现在，范畴论已渗透到现代数学的各个领域(甚至已应用到计算机科学等)，成为现代数学的基础。