更新时间:2022-10-10 17:32
在度量空间(E,d)中,也可以如下定义稠密集。当X的拓扑由一个度量给定时,在X中A的闭包是A与A中元素的所有数列极限(它的极限点)的集合的并集,
那么当
A在X中是稠密的。即A在X中稠密当且仅当A的闭包是X。
注意 。如果 是一个完备度量空间X中稠密开集上的序列,则 在X上依然稠密。这个事实与贝尔纲定理中的一个形式等价。
(1)A在X中稠密的充要条件是,对于任意一个x∈X,在x的任何邻域内都有A的点。这条性质有时也被作为稠密集的另一种定义。
必要性:因为A在X中稠密,所以,所以。于是根据闭包的性质,x的任何邻域与A的交集都不空,即x的任何邻域内都有A的点。反过来推导即可证明充分性。
(2)若A在X中稠密,则对于任意一个x∈X,在A中都能找到一个点列{xn},使得{xn}收敛于x。
证明:,即x要么是A的内点,要么是A的边界点。若x是内点,因为内点必是聚点,于是根据聚点的定义,存在某个各项互异的点列{xn},使得{xn}收敛于x,命题得证。若x是边界点,因为边界点可能是聚点,也可能是孤立点,又分为两种情况。若x是边界点中的聚点,则命题得证。若x是边界点中的孤立点,由孤立点的定义,x∈A,于是可取常数列{x},而常数列总是收敛的。
1.每一拓扑空间是其自身的稠密集。
2.有理数域和无理数域是实数域中的稠密集(在通常拓扑意义下)。
3.度量空间M是其完备集γM中的稠密集。