立方差公式

更新时间:2024-08-02 08:45

立方差公式是数学中常用公式之一。在高中数学中接触该公式。完全立方差公式与完全立方和公式共称为完全立方公式

简介

立方差公式也是数学中常用公式之一,在高中数学中接触该公式,且在数学研究中该式占有很重要的地位,甚至在高等数学、微积分中也经常用到。完全立方差公式与完全立方和公式共称为完全立方公式

具体为:两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差,所得到的积就等于两数的立方差。

用公式表达即:

证明

初级证明

由于立方项不好拆分,但是我们学过,遇到高阶项要尽量采用低阶项来对其进行简化处理,所以很容易想到a2,同时由于对a3降阶的同时还要和b3进行结合,所以很容易想到a2b这样一个加法项,因此对上式采取分别加和减一个a2b项,得到下式,同时进行相应的合并

a3-b3=a3-b3+a2b-a2b

=a2(a-b)+b(a2-b2)

=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)

=[a2+b(a+b)](a-b)

=(a-b)(a2+ab+b2)

证得:

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

高级证明

因为(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

所以根据交换律法则:

a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2)

=(a-b)(a-b)2+(3ab*a)-(3ab*b)

=(a-b)(a-b)2+(a-b)(3ab)

=(a-b) [(a-b)2+3ab]

=(a-b) [(a2-2ab+b2)+3ab]

=(a-b)(a2+ab+b2)

证得:

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

公式推广

类似的,我们有立方和公式及其推广:

(1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

b+...+(-1)^(r-1)a^(n-r)b^(r-1)+...+b^(n-1)]

n为大于零的奇数,r为中括号内项的序数,后面括号中各项式的幂之和都为n-1,an表示a的n次方。(n大于0且n不等于2)

解题时常用它的变形:(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2-ab)

相应的,立方差公式也有变形:a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)=(a-b)(a2+b2+ab)

推广:

免责声明
隐私政策
用户协议
目录 22
0{{catalogNumber[index]}}. {{item.title}}
{{item.title}}