更新时间：2023-05-29 22:17
对于函数f（x）与g（x），若存在区间[m，n]（m
对于函数f（x）与g（x），若存在区间[m，n]（m 等值函数的法向量的表达式与函数的梯度的表达式一致。 梯度是对一个函数而言的，它代表此函数变化最快的方向，设有函数W=f(x,y,z)，则其梯度为： 而对于法向量，其存在是对于几何实体存在的，如曲线或曲面，对于函数W=f(x,y,z)其代表的几何实体可以是多种多样的，如变形为W-f(x,y,z)=0,则代表四维几何体，若对W取某特定值C,即f(x,y,z)=C，则代表三维空间的等值曲面。此时关注第二种情形，即函数W=f(x,y,z)取某定值C,此时f(x,y,z)=C,则为所谓的等值函数，其代表着等值曲面，对于等量面f(x,y,z)=C，其法向量的求解为 （法向量的求解方法基本原理为假设x,y,z的参数方程，利用复合函数的求导法则得到法向量）,至此，对比GradW与n，可以发现两者表达式一致，所以有等值函数f(x,y,z)=C的法向量与函数W=f(x,y,z)的梯度相等这一说法，从此中可以看出正是因为“等值函数的法向量为什么等于其梯度 ”这一说法掩盖了梯度是对函数W=f(x,y,z)而言，法向量是对等量面f(x,y,z)=C而言这一实质，对上述说法的更准确的描述应该是：（参照复旦数学系教材）梯度函数是由数量函数W=f(x,y,z)产生的，在每一点P处的梯度方向与过P点的等量面f(x,y,z)=C在这点法线方向相同。并且GradW=n。
若与为等值函数，求a的取值范围。
要使与为等值函数，则函数f(x)与g(x)单调递增，则
即m,n是方程的两个不同的根，则等价为f(x)与m(x)=x，有两个交点即可。
令，即，则。
要使f(x)与m(x)=x，有两个交点，则，即，
，即，
解得：
综上：。