更新时间：2022-08-25 16:44
有两个面角相等的三面角，称为等腰三面角；三个面角皆相等的三面角，称为等面三面角或正三面角。
如果将等腰三角形的两腰换成等腰三面角的两个相等的面角，将等腰三角形的两底角换成等腰三面角的两个相应的二面角，那么等腰三角形与等腰三面角有类似的性质。
1. 等腰三面角中两个相等的面角所对的二面角相等。
【例1】已知三面角的两个面角相等，求证这两个面角所对的两个二面角相等。
证法一 设在三面角S-A' B'C'中，∠A'SB'=∠'B'SC' (图1)，在棱SB'上任取一点B，作BO⊥平面A'SC'，垂足为O，作OA、OC分别与SA'、SC'垂直相交于A、C，连结AB、CB，则AB⊥SA'，CB⊥SC'，于是∠BAO和∠BCO分别是二面角B'-SA'-C'和二面角B'-SC'-A'的平面角。
在直角△SAB和直角△SCB中：
∵∠ASB=∠BSC，SB=SB，
∴直角△SAB≌直角△SCB，AB=CB，
又直角△ABO≌直角△CBO，
∴∠BAO=∠BCO，
∴二面角B'-SA'-C' =二面角B'-SC'-A'。
证法二在三面角S-ABC中(图2)，在平面SAC内作直线SD平分∠ASC，即∠ASD =∠DSC。由题设∠ASB=∠BSC，又∠BSD=∠BSD，因此三面角S-ABD和S-CBD的三个面角对应相等，但排列顺序相反，所以这两个三面角对称，于是二面角B-SA-C和二面角B-SC-A相等。
本例的逆命题也是成立的。
2. 一个三面角能和它的对称三面角互相重合的充要条件是它是等腰三面角。
3. 三面角中，如果两个二面角不等，则二面角大的所对的面角较大。
4. 三面角中，如果两个面角不等，则面角大的所对的二面角较大。
5. 两个三面角中，如果两个面角对应相等，而所夹的二面角不等，则第三个面角也不等，所夹二面角大的所对的面角也较大。
【例2】已知两个三面角有两个面角对应相等，而所夹的二面角不等。求证第三个面角也不等，较大的二面角所对的面角也较大。
证明在图3的两个三面角S-ABC和S'-A' B'C'中，∠ASB=∠A'S'B'，∠BSC=∠B'S'C'，二面角A'-S'B'-C'大于二面角A-SB-C，把这两个三面角叠置起来使面ASB与面A'S'B'重合，那么面BSC必在二面角A'-S'B'-C'的内部。
在二面角C-SB-C'中，作平分面SBE交面ASC'于SE，
∵∠BSC=∠B'S'C'，∠BSE=∠B'S'E'，
二面角C-SB-E=二面角C'-S'B'-E，
∴三面角S-BEC和S'-B'EC'是相等的。
于是∠ESC=∠ES'C'，
但在三面角S-ACE中：∠ASE+∠ESC>∠ASC，
用∠ES'C'代替∠ESC得：∠ASE+∠ES'C'>∠ASC，
即 ∠A'S'C'>∠ASC。
本例的逆命题也成立。
6. 两个三面角中，如果两个面角对应相等，而第三个面角不等，则它所对的二面角也不等，第三个面角大的所对的二面角也较大。