类氢原子

更新时间:2024-01-29 09:25

类氢原子是只拥有一个电子的原子,与氢原子同为等电子体,例如,He+, Li2+, Be3+与B4+等等都是类氢原子,又称为“类氢离子”。类氢原子只含有一个原子核与一个电子,是个简单的二体系统,描述这类系统的(非相对论性的)薛定谔方程式有解析解。类氢原子的粗略结构只跟主量子数 n有关。可是,更精确的模型,考虑到相对论效应与自旋-轨道效应,能够分解能级的简并,使谱线能更精细地分裂。

类氢原子(hydrogen-like atom)是只拥有一个电子原子,与氢原子同为等电子体,例如,He+, Li2+, Be3+与B4+等等都是类氢原子,又称为“类氢离子”。类氢原子只含有一个原子核与一个电子,是个简单的二体系统,系统内的作用力只跟二体之间的距离有关,是反平方连心力。这反平方连心力二体系统不需再加理想化,简单化。描述这系统的(非相对论性的)薛定谔方程式有解析解,也就是说,解答能以有限数量的常见函数来表达。满足这薛定谔方程式的波函数可以完全地描述电子的量子行为。在量子力学里,类氢原子问题是一个很简单,很实用,而又有解析解的问题。所推演出来的基本物理理论,又可以用简单的实验来核对。所以,类氢原子问题是个很重要的问题。

称满足上述系统的薛定谔方程式的波函数为单电子波函数,或类氢原子波函数。类氢原子波函数是单电子角动量算符 L 与其 z-轴分量算符 Lz的本征函数。由于能量本征值 E n 跟量子数 l,m 无关,而只跟主量子数 n 有关。所以,类氢原子波函数可以由主量子数 n 、角量子数 l 、磁量子数 m独特地决定。因为构造原理,还必须加上自旋量子数 m s = ± 1 / 2。对于多电子原子,这原理限制了电子构型的四个量子数。对于类氢原子,所有简并的轨域形成了一个电子层;每一个电子层都有其独特的主量子数 n.这主量子数决定了电子层的能量。

除了氢原子(电中性)以外,类氢原子都是离子,都带有正电荷量 e ( Z − 1 );其中,e, Z 是原子序数。

薛定谔方程

类氢原子问题的薛定谔方程式为

其中,ℏ 是约化普朗克常数,μ是电子与原子核的约化质量,ψ是量子态的波函数,E是能量,V(r)是库仑势

其中,ϵ0是真空电容率,Z是原子序数,e 是单位电荷量,r是电子离原子核的距离。

采用球坐标 (r,θ,ϕ)将拉普拉斯算子展开:

猜想这薛定谔方程式的波函数解 ψ(r,θ,ϕ)是径向函数 Rnl(r) 与球谐函数 Ylm(θ,ϕ)的乘积:

角向部分

参数为天顶角和方位角的球谐函数,满足角部分方程式

其中,非负整数 l是轨角动量的角量子数。磁量子数 m(满足 −l≤m≤l )是轨角动量对于 z-轴的(量子化的)投影。不同的 l与 m给予不同的轨角动量函数解答 Ylm:

其中,i是虚数单位, 是伴随勒让德多项式,用方程式定义为

而 是 l阶勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为

径向部分解答

径向函数满足一维薛定谔方程式:

方程式左边的第二项可以视为离心力位势,其效应是将径向距离拉远一点。

除了量子数 ℓ 与 m以外,还有一个主量子数 n。为了满足 Rnl(r) 的边界条件,n必须是正值整数,能量也离散为能级 。随著量子数的不同,函数 Rnl(r)与 Ylm都会有对应的改变。按照惯例,规定用波函数的下标符号来表示这些量子数。这样,径向函数可以表达为

其中,。 近似于波耳半径 。假若,原子核的质量是无限大的,则 ,并且,约化质量等于电子的质量,。是广义拉格耳多项式,定义为

其中,是拉格耳多项式,可用罗德里格公式表示为

其中l

自旋-轨道作用

电子的总角动量必须包括电子的自旋。在一个真实的原子里,因为电子环绕著原子核移动,会感受到磁场。电子的自旋磁场产生作用 ,这现象称为自旋-轨道作用。当将这现象纳入计算,自旋与角动量不再是保守的,可以将此想像为电子的进动。为了维持保守性,必须取代量子数 l、m与自旋的投影 ms,而以量子数 j,mj 来计算总角动量。

精细结构

原子物理学里,因为一阶相对论效应,与自旋-轨道耦合,而产生的原子谱线分裂,称为精细结构

非相对论性,无自旋的电子产生的谱线称为粗略结构。类氢原子的粗略结构只跟主量子数 n有关。可是,更精确的模型,考虑到相对论效应与自旋-轨道效应,能够分解能级的简并,使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构,精细结构是一个 (Zα)2效应;其中,Z是原子序数,α是精细结构常数

在相对论量子力学里,狄拉克方程可以用来计算电子的波函数。用这方法,能阶跟主量子数 n、总量子数 j有关,容许的能量为

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