更新时间：2022-05-02 17:01
索末菲椭圆轨道理论
玻尔原来的理论仅考虑氢原子中电子绕核作圆轨道运动，索末菲推广考虑了椭圆轨道。平面椭圆轨道有两个自由度，需要两个量子化条件，空间椭圆轨道则需要3个量子化条件。索末菲采用推广了的玻尔量子化条件，得出氢原子系统的能量是量子化的，仍由主量子数n确定，与玻尔理论结果相同，而氢原子的角动量由角量子数确定，相同主量子数不同椭圆轨道上的角动量不同，且是量子化的，椭圆形状也是量子化的；在三维情形下，椭圆轨道以及角动量的空间取向也是量子化的。索末菲还进而考虑电子在椭圆轨道上运动速度变化引起的相对效应，得出氢原子能级的精细结构，与实验结果相符。
索末菲理论属于前期量子论，其中仍保留了电子运动轨道的概念，不同于后来发展起来的量子力学概念，而且某些结果的细节也与实际不符。
A.索末菲在玻尔氢原子理论的圆轨道基础上发展了椭圆轨道理论，认为电子在核的库仑场中运动，其轨道一般应为椭圆。索末菲假定在极坐标系中电子的允许轨道必须满足两个量子条件（图1） ，
式中n嗞和nr都是正整数，分别称为角量子数和径量子数。核库仑吸引力是一种有心力，故电子的角动量p嗞在周期运动中为恒量（图2）。
利用这一关系，再用经典力学中粒子作椭圆轨道运动时总能量关系，算得氢原子中电子在椭圆轨道上的总能量为（图3），式中me是电子的质量，Z是原子核电荷数，e是电子的电荷量，ε0是真空介电常数, h是普朗克常数。如果令n
=nr+n嗞，则电子在椭圆轨道上的能量与相应的玻尔轨道上的能量相同。整数n称为主量子数。并且算得椭圆轨道的半长轴a为（图4）。半长轴a和半短轴b的关系为（图5）。对每一个半长轴，都有n个不同半短轴的轨道，按开普勒定律，作椭圆轨道运动粒子的能量只和长轴有关，故这些轨道上的电子具有相同的能量（图6）， En只与n有关， 与n嗞无关。
考虑到电子质量的相对论效应，在偏心率不同的轨道上的影响是不同的，索末菲详细推导了相对论效应中电子能量，得到（图7），式中μ为电子与核的静折合质量，R为该原子的里德伯常数，с为真空中光速（图8），称为精细结构常数。可见，相对论效应使得主量子数n相同，但角量
子数n嗞不同的椭圆轨道具有不同的能量，即同一个n值所标示的能级将分裂为n个相近的能级。据此也能解释光谱的精细结构。 1926年L.H.托马斯首先根据G.E.乌伦贝克电子自旋的假设，考虑到自旋轨道相互作用和相对论坐标变换效应，成功地解释了氢原子光谱精细结构谱线分裂。1927年P.A.M.狄喇克的相对论量子力学理论直接得到了相似的结果（图9）（图10），式中j取值和（l-1/2），称总角动量量子数。狄喇克理论不仅能较好地定量解释氢原子光谱的精细结构，而且可直接导出电子的自旋磁矩。