更新时间：2022-09-23 09:17
有限维可分希尔伯特空间上 所有紧算子的集合是的闭双边理想，因此是一个C*代数。
紧算子的谱为的可数子集，且0为其唯一聚点。紧算子的谱的任何非零点都是本征值，对应的本征空间为有限维向量空间。
紧算子为有界线性算子。
设N∈为正规算子，则0∈σ(N)，且σ(N)若非有限集，则为{0,λ1,λ2,...}，其中(λn)为互异的收敛于0的复数序列，且对σ(N)中所有非零元λ，Hλ={ξ∈H:Nξ=λξ}为非零的有限维空间。
希尔伯特-施密特算子的集合为希尔伯特空间，且组成的理想。
设T为复巴拿赫空间E的紧算子，则dimker(1-T)=dimcoker(1-T)。
紧算子是一类重要的有界算子，它最接近于有限维空间上的线性算子。
设X,Y是赋范线性空间，A是X到Y的连续算子。如果A把定义域中任何有界集映射成Y中的列紧集，则称A是紧算子，或全连续算子。
紧算子的Schatten-冯·诺伊曼理想为，满足Tr(|T|p)<∞。
紧算子概念是希尔伯特(Hilbert,D.)于1906年引入的。
1917年里斯(Riesz,F.)对紧算子进行了系统的研究。
1930年绍德尔(Schauder,J.P. )证明了，若X,Y都是巴拿赫空间，A∈(X→Y)，则A是紧算子的充分必要条件是它的共轭算子A*是紧的。如果Y是巴拿赫空间，则从X到Y的紧线性算子全体𝒦(X→Y)是巴拿赫空间𝓑(X→Y)的闭线性子空间。当Y或X的共轭空间X*是具有可数基的巴拿赫空间时，X到Y的紧线性算子可用有限秩线性算子来逼近。
对一般巴拿赫空间未必如此，恩夫洛(Enflo,P.)曾举出反例说明这一点。
在数学中，线性映射（也叫做线性变换或线性算子）是在两个线性空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射（自同态）。