属于第一类的如微分几何、拓扑学。微分几何是研究光滑曲线、曲面等，它以数学分析、微分几何为研究工具。在力学和一些工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用。拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质，这种性质称为“拓扑性质”。如画在橡皮膜上的图形当橡皮膜受到变形但不破裂或折叠时，曲线的闭合性、两曲线的相交性等都是保持不变的。

属于第二类的如数论、近世代数。数论是研究整数性质的一门学科。按研究方法的不同，大致可分为初等数论、代数数论、几何数论、解析数论等。近世代数是把代数学的对象由数扩大为向量、矩阵等，它研究更为一般的代数运算的规律和性质，它讨论群、环、向量空间等的性质和结构。近世代数有群论、环论、伽罗华理论等分支。它在分析数学、几何、物理学等学科中有广泛的应用。

属于第三类的如微分方程、函数论、泛函分析。微分方程是含有未知函数的导数或偏导数的方程。如未知函数是一元函数，则称为常微分方程，如未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。函数论是实函数论（研究实数范围上的实值函数）和复变函数（研究在复数平面上的函数性质）的总称。泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间（如函数空间）上的函数、算子和极限理论，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。它在数学和物理中有广泛的应用。

什么是纯粹数学？什么是应用数学？它们的界线怎样划分？这些都是颇为模糊的问题。纯粹数学与应用数学间很难划出严格的界线。数学问题最初来自客观世界 ，往后则按其自身的规律发展，慢慢地脱离原来的问题，成为一个逻辑上完整的体系。从数学问题来看 ，由数学内部矛盾引出的问题发展起来的数学分支应属纯粹数学问题， 来自客观世界的应属应用数学。但还有些问题不是很明显的，从价值标准来看 ，纯粹数学总是将美与真放在一起 ，将数学美作为首要评价标准之一，应用数学除要求数学美之外 ，总还要有应用，至少有应用的前景。

可否将数学分成若干圈，最里面是纯粹数学，如数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、分析学这 些学科中的问题，都是来自数学的内部矛盾，应属纯粹数学。往外延伸，如微分方程、概率论、组合数学等则系具体分析， 它们都已形成自身的理论体系，可以从自身内部矛盾来提出待研究的课题，也有以自然科学与工程技术为背景提出的研究课题。至于计算方法、数理统计与运筹学等 ，其实际背景就很清楚如运筹学中的一些问题就是用数学语 言来描写一个实际问题，然后再找出可行的求解方法。统计中的实验设计就是要科学地安排实验 ，使实验次数尽 可能少，而得到的信息量尽可能大。在这里数学与自然科学及工程技术的关系就相当密切了。其价值标准，除要 求理论与方法简单明了外，是否真正有用也很重要，应该属于应用数学范畴，再从处理数学问题的手段来看，纯粹数学与应用数学也很有差异。纯粹数学中，证明定理的手段就是逻辑推理。应用数学则允许用模拟手段，例如有两种求整体极大的方法 ，我们将这两种方法用于已知整体极大的例子，看看这两种方法各成功多少次，各耗去多少机器时间等，由此来说明这两个方法的优劣。