更新时间：2022-08-25 14:13
如果偏微分方程中，未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量(或者是常数)，那么这样的偏微分方程就称为线性偏微分方程，特别的，如果方程中的系数都是常数，则称为常系数偏微分方程。显然，如果方程中的系数是自变量的函数，则称为变系数偏微分方程。方程中出现未知函数及偏导数不是线性的，则称为非线性偏微分方程。
未知函数具有多个自变量，含有这种未知函数的一个或多个偏导数的微分方程称为偏微分方程。如自变量只有一个就成为常微分方程。如方程不止一个，就称为偏微分方程组。 就是一个典型的偏微分方程。 就是一个典型的常微分方程。
引入线性偏微分算子
则线性偏微分方程可简写为
线性偏微分方程有以下性质：
1)如 ，则 。如 ．则 (c是常数)。
2)如 是齐次方程 的通解，v是非齐次方程 的特解，则 是非齐次方程 的通解。
3)如 是 的特解，则 ( 是常数)是 的解。
4)如 是 的解，则 是的解。其中 是参变量， 是任意函数。如 ，则 (c是常数)。
许多物理学、力学和工程技术问题所引出的偏微分方程都是二阶偏微分方程。对于二阶偏微分方程研究相对成熟些。对于有双自变量 的未知函数的二阶线性偏微分方程，可以写成如下形式
式中，系数 都是 的函数，且 不同时为零，假设函数 及其系数都是二次连续可微的。
通过坐标变换能够把上述方程在某一点化成标准形式，根据
为正、为零或为负而定的条件，偏微分方程在这点称为是双曲型、抛物型或椭圆型的。
如果该偏微分方程在一个区域内的任意点均为双曲型的、抛物型的或椭圆型的，那么就称该偏微分方程在这区域内是双曲型、抛物型或椭圆型的。对于两个自变量的偏微分方程，在一给定的区域内总可以找到函数变换将已知方程化成标准形式，但是，就多个自变量的偏微分方程来说，这样的变换一般是较难找到。
由于二阶偏微分方程，具有广泛的实际意义和数学处理上的简单易理解。这里仅给出二阶线性偏微分方程的一些例子。
或
式中： 为拉普拉斯算子(或 ； 为哈密尔顿算子)； 为常数。这个方程描述了波的传播(或扰动)。它可以描述很多物理问题，例如，弦的振动，薄膜的振动，杆和梁的纵向弹性振动，水的浅表波动，声学以及电信号在电缆中的传输等问题。
式中：K为导热系数。上述方程描述了某种量子的流动，例如，热或一团基本粒子的流动，在生物学中 也被用作描述生长和扩散的过程，特别是肿瘤的生长。这个热扩散方程还可以描述在Stocks和Rayleigh问题中的非稳定附面层流动以及由旋涡面产生的旋涡扩散。
此方程用于描述无源静电场的电位，引力场，弹性薄膜的平衡位移，不可压缩流体的速度场，稳态热传导问题的温度分布和其它诸多物学现象。
式中 为一个描述场源或场漏的给定函数。这是非齐次的拉普拉斯方程。泊松方程表示有源或有漏的情况下拉普拉斯方程描述的物学现象。
式中： 为常数。此方程就是与时间独立的波动方程加了一个参数 。在声学问题中，它的解代表了一种声音的辐射场。