更新时间：2024-09-14 18:58
线性阵不等式被广泛用来解决系统与控制中的一些问题，随着求解线性矩阵不等式的内点法的提出、MATLAB 软件中LMI 工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的关注和重视，应用线性矩阵不等式来解决系统和控制问题已成为一大研究热点。
具有下列形式的矩阵不等式称为线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)或严格线性矩阵不等式
其中， 是个实数变量，称为线性矩阵不等式(1)的决策变量； 是决策变量构成的决策向量。 ， 是给定的实对称矩阵。 表示矩阵 是负定的，即对于任意的非零向量 有 ，或者 的最大特征值小于零。而若下列矩阵不等式的成立
则称为非严格线性矩阵不等式。
线性矩阵不等式的发展可以分为三个阶段：
最早的动态系统分析的LMI 方法可以追溯到100 多年以前。1890 年Lyapunov 在他出版的被称为Lyapunov 理论的著作中，提出了微分方程
的稳定条件：当且仅当存在对称正定矩阵 ，使得 。它是LMI的一种特殊形式称为Lyapunov不等式。
LMI 发展的第二个里程碑是在二十世纪40 年代.当时，前苏联科学家Lur’e，Postnikov 及其他学者将Lyapunov 方法应用于控制工程中的一些经典问题，尤其是当执行机构具有非线性时滞时的稳定性，虽然他们没有形成精确的矩阵不等式，但是所提出的稳定性准则具有LMI 的雏形。“Lyapunov 理论可以应用于控制工程中的重要问题” 这一新想法使Lur’e，Postnikov 等人受到启发，将Lyapunov 理论应用于解决实际控制工程问题，解决LMI 问题的思想可以归结于利用手工分析式的求解，当然其应用仅限于小系统。
LMI 发展的第三个里程碑是在二十世纪60 年代.Popov，Yakuovichl 及其它学者利用正实 (Positive Real-PR) 引理简化Lur’e 问题，应用图形原则进行求解，产生了Popov 判据.这种判据可以应用于高阶系统，但不适合用于非线性系统。从LMI 的控制理论的发展观点看，Yakuovichl，Popov 等人的贡献在于给出了利用图形方法解决LMI 问题。
70 年代，一些学者认识到LMI 问题不仅可以通过图形方法获得求解，而且可以通过求解代数Riccati 方程 (Algebraic Riccati Equation-ARE) 获得求解。1971 年一些学者得到求解经典LMI 的方法，如图形法以及Lyapunov 函数法.这些分析方法可以用于特殊形式的LMI 问题。
在LMI 历史中最具实质性的阶段是80 年代，这期间提出了多种LMI 标准问题的数值解法，主要的LMI 求解算法有替代凸投影算法，椭球算法及内点法。内点法又分为中心点法，投影法，原始-对偶法，这些方法的共同思路都是把LMI 问题看成凸优化问题处理。
1995 年MATLAB 推出了基于内点法的求解LMI 问题的LMI 工具箱，使得求解高维的LMI 成为可能.这种统一标准，统一解法的线性分析方法，设计规范的形式以及有效的数学计算工具包逐步研制成功，使得人们能够更加方便和有效地处理，求解线性矩阵不等式，从而进一步推动了LMI 在系统和控制领域中的应用。
系统与控制中的许多问题初看想来不是一个线性矩阵不等式问题，但通过适当的处理可以转换成一个线性矩阵不等式问题。下面给出一些典现例子。
1、多个线性矩阵不等式
表 示 一 个 线 性 矩 阵 不 等 式 系 统 。 引 进 ，则 同时成立当且仅当 。所以，一个线性矩阵不等式可以用来描述整个线性矩阵不等式系统。
2、矩阵 Schur 补性质可将非线性矩阵不等式转换成线性矩阵不等式问题。
对于矩阵 ，把 分块得：
其中 是 维的。设 非奇异，那么 叫做 在 内的Schur补。介绍矩阵的Schur 补性质。
Schur补引理：对给定的对称矩阵 ，其中 是 维的。以下三个条件是等价的：
(i) ；
(ii)
(iii)
3、S-procedure可以把非凸约束问题变换为LMI 约束问题。
对 ，假定 为 上的实值泛函，针对下述条件：
：对使得 , 的所有 ，有 ；
：存在标量 , ，使得对任意的 ，
易知通过条件 可以导出条件 。S-procedure在检验条件 的准确性后，再推测条件 是否成立。相比较，条件 比 容易判断，所以，利用S-procedure能够方便判断条件 是否可行。
1、可行性问题（LMIP）：已知 ，是否能找到 ，满足 。若有，那么此线性矩阵不等式可行；若没有，那么不可行。其中，MATLAB LMI工具箱提供的相应的求解器为feasp。
2、特征值问题（EVP）：以某线性矩阵不等式约束为基础，解最小化 的最大特征值问题，或者推出该约束为不可行的。它的一般形式是:
其可变换为下述问题，二者等价：
上式为特征值问题求解器能解决的规范表示。其中，MATLAB LMI工具箱提供的相应的求解器为mincx。
3、 广义特征值问题（GEVP）：已知某线性矩阵不等式约束，解如何最小化二仿射矩阵函数的最大广义特征值。
已知维数相同对称矩阵 、 ， 为一个标量，若存在一个非零向量y ，满足 ，那么标量 叫作对称矩阵 与 的广义特征值，求解 问题变换为针对线性矩阵不等式约束的优化分析：
其中，MATLAB LMI工具箱提供的相应的求解器为gevp。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，同样可以采用程序的方式。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：
feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x) mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。 gevp：解决广义特征值最小化问题。例如：最小化lambda，在0 要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。 对于以下类型的任意的LMI问题 N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M 其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。 左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。 有一些有效率的数值方法可以判断线性矩阵不等式是否可行（是否存在向量y使得LMI(y)≥0），或解出有LMI限制条件的凸优化问题。 许多控制理论、系统识别及信号处理的最佳化问题都可以表示为线性矩阵不等式。线性矩阵不等式也可以应用在Polynomial SOS中。原型的原始半定规划及对偶半定规划都是实线性函数的最小化，分别属于控制此LMI的原始凸锥及对偶凸锥。