线性运算

更新时间:2024-08-09 16:09

线性运算是加法和数量乘法, 在实数领域像只包含加法和数量乘法二元一次方程就属于线性运算,如y=3x+5。如果是矩阵的加法和数乘运算,就称为矩阵的线性运算;如果是向量的加法和数乘运算,统称为向量的线性运算。对于不同线性运算一般有不同的形式,它们满足交换律、结合律、分配律等。

矩阵的线性运算

矩阵的加法和数乘运算,统称为矩阵的线性运算。

矩阵加减法

定义 设

是两个 型矩阵,则矩阵

称为 和 的和,记为

矩阵的加法就是矩阵对应元素相加,当然,相加的矩阵必须要有相同的行数和列数,即只有同型矩阵方可相加。

由于矩阵加法归结为它们元素的加法,即数的加法,故不难验证矩阵加法满足:

(1)结合律:

(2)交换律:

明显地,对零矩阵,有 。

定义2 矩阵

称为矩阵 的负矩阵,记为。

显然,有 一0,从而可定义矩阵减法为

我们可以将负矩阵 看做是实数一1和矩阵 相乘所得,从而抽象出一般数和矩阵的数量乘法。

矩阵数量乘积

定义 矩阵

称为矩阵 与数 的数量乘积,记为。换句话说,用数 乘以矩阵 ,就是把矩阵的每个元素都乘上 。

不难验证。数量乘积满足下列运算规律:

(1) (结合律);

(2) ;

(3) 。

向量的线性运算

向量的加法和数乘运算,统称为向量的线性运算。

向量的加减法

设n维向量 , ,规定向量 与 的和为

规定向量 与 的差为

向量的数乘

设n维向量 ,各分量乘以数k所构成的向量,称为数k与向量的数量乘积,简称数乘,记做 ,即

容易验证得到:

(1 ) (加法交换律);

(2) (加法结合律);

(3) ;

(4) ;

(5) (数乘分配律);

(6) (数乘分配律);

(7) (数乘结合律);

(8) 。

上述定义与性质是针对行向量而言的,当与为列向量时,有类似结论。

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