更新时间：2024-08-09 16:09
线性运算是加法和数量乘法， 在实数领域像只包含加法和数量乘法二元一次方程就属于线性运算，如y=3x+5。如果是矩阵的加法和数乘运算，就称为矩阵的线性运算；如果是向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算。对于不同线性运算一般有不同的形式，它们满足交换律、结合律、分配律等。
矩阵的加法和数乘运算，统称为矩阵的线性运算。
定义 设
是两个 型矩阵，则矩阵
称为 和 的和，记为
矩阵的加法就是矩阵对应元素相加，当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数，即只有同型矩阵方可相加。
由于矩阵加法归结为它们元素的加法，即数的加法，故不难验证矩阵加法满足：
(1)结合律：
(2)交换律：
明显地，对零矩阵，有 。
定义2 矩阵
称为矩阵 的负矩阵，记为。
显然，有 一0，从而可定义矩阵减法为
我们可以将负矩阵 看做是实数一1和矩阵 相乘所得，从而抽象出一般数和矩阵的数量乘法。
定义 矩阵
称为矩阵 与数 的数量乘积，记为。换句话说，用数 乘以矩阵 ，就是把矩阵的每个元素都乘上 。
不难验证。数量乘积满足下列运算规律：
(1) (结合律)；
(2) ；
(3) 。
向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算。
设n维向量 ， ，规定向量 与 的和为
规定向量 与 的差为
设n维向量 ，各分量乘以数k所构成的向量，称为数k与向量的数量乘积，简称数乘，记做 ，即
容易验证得到：
(1 ) （加法交换律）；
(2) （加法结合律）；
(3) ；
(4) ；
(5) （数乘分配律）；
(6) （数乘分配律）；
(7) （数乘结合律）；
(8) 。
上述定义与性质是针对行向量而言的，当与为列向量时，有类似结论。