结构优化设计可定义为：对于已知的给定参数，求出满足全部约束条件并使目标函数取最小值的设计变量的解。

2．设计变量

设计变量指在设计过程中所要选择的描述结构特性的量，它的数值是可变的。设计变量可以是各个构件的截面尺寸、面积、惯性矩等设计截面的几何参数，也可以是柱的高度、梁的间距、拱的矢高和节点坐标等结构总体的几何参数。设计变量通常有连续设计变量和离散设计变量两种类型。

（1）连续设计变量。这类变量在优化过程中是连续变化的，如拱的矢高和节点坐标等。

（2）离散设计变量。这类变量在优化中是跳跃式变化的，如可供选用的型钢的截面面积和钢筋的直径都是不连续的。

3．目标函数

目标函数是用来衡量设计好坏的指标。采用何种指标来反映设计好坏与结构本身的技术经济特性有关。通常采用的目标函数有：结构重量、结构体积、结构造价三种。

4．约束条件

结构优化的约束条件一般有几何约束条件和性态约束条件两种。

（1）几何约束条件。即在几何尺寸方面对设计变量加以限制。如工字型截面的腹板和翼缘的最小厚度限制。

（2）性态约束条件。即对结构的工作性态所施加的一些限制。如构件的强度、稳定约束以及结构整体的刚度和自振频率等方面的限制。

轻钢结构设计的最终目的是要给出一个经济合理的设计方案。优化设计方法，能较好地适应这方面的要求。轻钢结构采用优化设计，对于减轻结构重量、降低用钢量和结构造价有着明显的意义。目前国内对轻钢结构的优化设计已进行了一些研究和应用，编制了相应的计算程序，利用计算机实现了对截面的自动优选以求得重量最小、用料最省或造价最低的设计方案。这对于提高轻钢结构的设计质量，加快设计进程都起了一定的作用。下面针对轻钢结构建立其优化设计的数学模型。

1．设计变量

轻钢结构的主要几何参数如跨度、檐口高、屋面坡度、纵向柱间距等通常由业主或建筑师确定。可供优化的变量主要是截面参数。具体说，就是各工字钢截面的翼缘宽、厚，腹板的高、厚等。钢板的厚度是离散变量，而腹板和翼缘的高（宽）一般也是从一系列有规律的数中选取，因此轻钢结构的设计变量通常是离散变量。

2．目标函数

结构重量是轻钢结构优化设计的重要指标，且比较容易写成设计变量的函数形式，故轻钢结构通常以用钢量最少为优化目标。

3．约束条件

轻钢结构优化设计必须满足以下约束条件：

（1）强度、稳定约束条件。

轻钢结构构件必须满足强度和稳定要求。

（2）刚度约束条件。

轻钢结构的构件尺寸在优化时，结构的整体刚度必须满足变形控制要求。具体说，就是横梁的最大垂直位移、柱顶的最大水平位移、吊车轨顶处的最大水平位移等必须满足有关规范规定的变形控制值。

（3）截面尺寸约束条件。

轻钢结构截面尺寸的选择必须满足有关规范的构造要求和使用要求，如所有截面的腹板高度必须大于翼缘宽度，所有截面的翼缘厚度必须比腹板厚度大2mm以上等。

（4）结构整体约束条件。

轻钢结构的优化设计必须满足结构整体约束条件，即构件截面尺寸的选择必须要保证梁、柱截面的连续性以及合理性，满足常规的加工和使用要求等。

（5）变量的上、下限约束条件。

1．简单解法

当优化问题的变量较少时，可用下列简单解法。

（1）图解法。在设计空间中作出可行域和目标函数等值面，再从图形上找出既在可行域内（或其边界内），又使目标函数值最小的设计点的位置。

（2）解析法。当问题比较简单时，可用解析法求解。

2．准则法

准则法是从工程和力学观点出发，提出结构达到优化设计时应满足的某些准则（如同步失效准则、满应力准则、能量准则等），然后用迭代的方法求出满足这些准则的解。该方法的主要特点是收敛快，重分析次数与设计变量数目无直接关系，计算量不大，但适用有局限性，主要适用于结构布局及几何形状已定的情况。尽管准则法有它的缺点，但从工程应用的角度来看，它比较方便，习惯上易于接受，优点仍是主要的。最简单的准则法有同步失效准则法和满应力准则法。

（1）同步失效准则法。其基本思想可概括为：在荷载作用下，能使所有可能发生的破坏模式同时实现的结构是最优的结构。同步失效准则设计有许多明显的缺点。由于要用解析表达式进行代数运算，同步失效设计只能用来处理非常简单的元件优化；当约束数大于设计变量数时，必须设法确定那些破坏模式应当同时发生才给出最优设计，这通常是一件十分困难的工作；当约束数和设计变量数相等时，并不能保证这样求得的解是最优解。

（2）满应力准则法。该法认为充分发挥材料强度的潜力，可以算是结构优化的一个标志，以杆件满应力作为优化设计的准则。这一方法在杆件系统如桁架的优化设计中用得较多。在此基础上又发展了与射线步结合的齿行法以及框架等复杂结构的满应力设计。

3．数学规划法

将结构优化问题归纳为一个数学规划问题，然后用数学规划法来求解。结构优化中常用的数学规划方法是非线性规划，有时也用线性规划，特殊情况可能用到动态规划、几何规划、整数规划或随机规划等。

（1）线性规划。当目标函数和约束方程都是设计变量的线性函数时，称为线性规划问题。该类问题的解法比较成熟，其中常用的解法是单纯形法。

（2）非线性规划。当目标函数或约束方程为设计变量的非线性函数时，称为非线性规划。结构优化设计多为有约束的非线性规划问题。这类问题较线性规划问题复杂得多，难度较大，目前采用的方法大致有以下几种类型：不作转换但需求导数的分析方法，如梯度投影法、可行方向法等；不作转换也不需求导数的直接搜索方法，如复形法；采用线性规划来逐次逼近，如序列线性规划法；转换为无约束极值问题求解，如罚函数法、乘子法等。

4．混合法

混合法即同时采用准则法和数学规划法。

5．启发式算法

近些年来发展起来了一些启发式算法。这些算法有遗传算法（GA）、神经网络算法、模拟退火算法等。它们在结构优化领域得到了一些应用。

数学规划法的命题是：求n个变量xi(i=l，2，…，n)，满足m个约束条件Gj(xi)≤0 (j=l，2，…，m)，且使目标函数W(xi)为最小(或最大)。如果约束条件和目标函数都是xi的线性函数，这便是线性规划问题，已有成熟的解法；如果在这些函数中有一个是非线性函数，便成为非线性规划问题。随着非线性函数的性质和形式的不同，非线性规划问题有很多类型，特殊的解法很多，在应用上各有局限性，没有普遍适用的最好解法。

用数学规划法来作结构优化设计，变量xi便代表可以变化的各种结构参数，如元件截面积或厚度、节点位置、材料性质等；约束条件Gj(xi)≤0代表设计必须满足的各种限制，例如结构各部位的静应力，动应力或变位不得超过规定的容许值，元件的截面或厚度尺寸不得超出给定的范围，结构的频率不应落在某个禁区，结构的失稳临界力或飞行器的颤振速度不得小于某一下限，等等；而目标函数则代表结构优化所追求的指标，例如，结构重量最小和成本最低等可以定量的指标；也可将重量、造价作为约束条件，而把某种结构性能，例如刚度作为目标函数。

数学规划法的基本目的是，在以设计变量为坐标的多维空间里搜索最优点。如果有n个设计变量，则相应的n维设计变量空间中的每个点都代表一个设计方案。在无限多的点中要尽快地搜索出既满足所有的约束条件，又能使目标函数尽量接近最小值(或最大值)的点，就是数学规划设计法的任务，这种搜索的过程称为“优化过程”。

附图表示一个二维设计空间，图中的一簇曲线是目标函数W(x1，x2)为常数的等值线。约束函数Gj(x1，x2)为零的曲线所围成的区域是可行域。A、B、C点各代表一个可行的方案.围线以外的点(如D)不满足约束条件，所以是不可行方案。显然，满足约束条件并使目标函数W最小的最优方案点是M。数学规划就是要以最迅速的方式找到点M。这好比在山坡上—个用栅栏围起来的区域里找最低点，如果这个山坡不是凹的，则可以断定最低点必在栅栏所在的边界上。数学规划提供了很多搜索的办法，基本原则都是在选好一个出发点后，经过分析判断，找出一个迈步的有利方向，沿这个方向跨出有利的步长以到达新的一点。再从此点出发，重复上述过程，一步一步走下去，直到再也找不到可走的有利方向，就是达到了最低点。从第n点到第(n+1)点这一步可表达为：

式中 为有利方向， 为有利步长系数，它们依靠在点进行的分析所提供的信息来确定。例如，从可行点A出发，沿着等高线的梯度负向，即最陡下降方向逐步走到边界点1，然后再沿着边界逐步走到最低点M，这个方法叫作梯度投影法。实际上还有很多其他的方法。可以看出，如果初始出发点选的是B，用同样的走法也可以走到最低点M；但如果初始点选的是C，那就会走到另一个局部最低点N。M点代表全局最优解，因为它是全部可行域中的最低点。N点只是在它附近的可行域中的最低点，所以是局部最优解。现在还没有一个可靠的实用方法能保证搜索到的解一定是全局最优解。一般是在可能的情况下取若干不同的出发点作几次搜索，以期找到全局最优解。

如果是线性规划问题，搜索过程就简便得多。所以有时把非线性问题转化成一系列线性问题来逼近。为此，在某一设计点附近将目标函数和约束函数都线性化，也就是在该点将函数作泰勒展开，并只保留它们的线性项。然后作有一定步长限制的线性规划，得到新的一点。如此重复下去，直到收敛于最优点为止。

由于不带约束的规划问题比较容易作，所以有时也把有约束问题转化成一个序列的无约束问题。为此，可以把约束表示成一个罚函数加到目标函数上去，构成一个新的目标函数，即

式中 即为罚函数，r是个相当小的正数，它在序列无约束问题中，逐次减小。因为r值很小，当代表某一设计方案的点在离开边界较远的可行域内部行动时，;但是当接近可行域的边界．某约束函数Gj(xi)将由负值趋近于零，于是罚函数急剧增大，因此，的最小点不可能越过可行域边界。r越小，无约束问题的W最小点越接近于有约束问题的W最小点。但是如果一开始就取很小的r，无约束问题将遇到收敛上的困难，所以有必要将有约束问题化成一个序列的无约束问题，让系数r在这个序列中逐渐减小到适当的程度。

此外，还有一些非线性规划的特殊方法，如几何规划和动态规划，各有其适应的范围，在结构优化设计中也得到应用。

以满足某种准则来代替目标函数在约束条件下取极值的方法，叫作优化准则法。最简单的一个优化准则法，便是前面提到的满应力设计方法。只有对于内力分布不随设计变量改变而变化的静定结构，而且容许应力与设计变量无关的情况下，才能通过一次结构分析和修改设计得出满应力结构。对于其他情况，为使各元件趋向于满应力，必须进行下列的选代：

式中 和 为第n次迭代的第i元件的截面积和最大应力， 为第i元件的容许应力。公式给出经过修正的第i元件的截面积 。迭代收敛时， ，就达到 的满应力准则。满应力准则和结构最小重量之间没有必然的联系，但是一般的满应力设计可能相当接近于甚至就等于最轻设计。当然，这个方法只适用于受应力约束的最轻设计问题。

60年代末，出现了更科学的优化准则法。它通过数学推演，把在一定约束下求最轻设计化为求满足某种优化准则的设计，举只有一个变位约束优化设计问题为例：求xi，满足在单约束G(xi)≤0的条件下，使W(xi)最小(i=1，2，…，n)。可以用目标函数和约束函数建立一个新的混合函数，即拉格朗日函数：

式中λ为一个待定的拉格朗日乘子。原来的约束极值问题等价于：

由此得：

这便是关于单约束优化设计必须满足的准则。优化设计x，必须使优化函数和目标函数对任一个设计变量xi的偏导数的比值是同一个常数。如果约束函数G是某处的变位，则 表示设计变量xi作单位增长时变位值的减小，即结构的刚度收益；如果目标函数W是结构的总重量，则 表示xi作单位增长时重量的增加，即付出的代价。因此，上述准则可以理解为：最轻设计必须满足的条件是：当任何一个自由设计变量作单位变化时，结构的刚度收益和重量支出的比值应彼此相等，即都等于某一常数。也可以说，在最轻结构中，自由设计变量都被调整到具有相等的优化效率。这意味着对结构刚度贡献大的设计变量，应该多负点重量。用这个准则，可以建立一套迭代算法，从某个初始方案开始，用选代方法逐步使这个准则得到满足，最后获得优化方案。如果是多约束问题，约束不止一个，优化准则便是：

式中λj是对应于第j个有效约束Gi的拉格朗日乘子，可以理解为:

的权系数。所有λj都应为非负值，即λj≥0；如果由准则算出的某λj为负值，则相应的约束就是不起作用的松约束，应该取这个λj为零值。多约束的算法，要比单约束复杂，其困难在于每一步选代都要区别出起作用的和不起作用的约束。

优化准则法自60年代末以来被成功地用于航空结构设计。它的优点是算法简单，收敛快，不受变量多少的影响。一般经过十次左右的迭代，就可满足设计要求。选代次数的多少，在实际的结构优化设计中极为重要。因为选代一次，就需要将结构重新分析一次，而作一次结构分析的代价是很大的。

计算机化的结构优化设计，首先在航空工业中得到重视和应用，后又逐渐推广到建筑，造船、机械制造等领域。二十年来的发展证明，教学规划法和优化准则法是两个行之有效的方法，但各有利弊。前者通过与力学概念的紧密结合，可减少结构分析的次数，从而减少计算工作量。后者则正在改进它的适应性，以便扩大应用范围。在实际应用中，这两种方法常常互相取长补短，配合使用。

结构优化设计只是工程系统设计中的—个环节，结构的优化应包括在大系统的优化之中。即使是只考虑结构本身的优化，也要经历许多层次。层次越高，在优化中可变参数的性质越广，不仅结构截面参数可变，结构的几何形状、组合方式以至各部分材料也是可变的。今后要努力的方向是扩大优化范围和提高优化效益。

R．H．Gallagher and O．C．ZienkieWicz，ed.， OptimumStructural Design，Theory and Applications，John Wiley&Sons，London，1973．

钱令希著：《工程结构优化设计》，水利电力出版社，北京，1983。

《1980年全国计算力学会议文集》，北京大学出版社，北京，198l。