更新时间：2023-12-24 19:28
绝对连续表示函数的光滑性质，比连续和一致连续条件都要严格，比利普希茨条件宽松，是一类极为重要的函数。绝对连续函数几乎处处可微，是它的导函数的广义原函数。
绝对连续函数是一类极为重要的函数，设 f(x) 是 [a,b] 上的函数，若对任给 ε>0 ，存在 δ>0 ，使得对于在 [a,b] 上任意有限个互不相交的开区间 (a1,b1)，(a2,b2),...,(an,bn)，当
时，就有
则 f(x) 称为 [a,b] 上的一个绝对连续函数，令
则 f(x) 在[a,b] 上绝对连续的充分必要条件为：当△→ 0 时，
一致收敛于 0。
绝对连续函数的名称有维塔利 (Vitali,G.)提出，绝对连续函数的主要性质有：
1、若f(x) 与 g(x) 都是[a,b] 上的绝对连续函数，则
也是[a,b] 上的绝对连续函数.
2、若g(x) 是 [a,β] 上的绝对连续函数，a≤g(x)≤b，f(x) 在[a,b] 上满足利普希茨条件，则 f[g(x)] 是[a,β] 上的绝对连续函数（但任意两个绝对函数的复合函数未必绝对连续）.
3、绝对连续函数一定是有界变差函数，但有界变差函数未必是绝对连续函数。
4、若f(x) 在 [a,b] 上绝对连续，且f‘(x)=0 a.e. 于 [a,b]，则f(x) 为一常数。
5、若f(x) 在 [a,b] 上绝对连续，且f‘(x)≥0 a.e. 于 [a,b]，则f(x) 为一单调增加函数。
6、若f(x) 在[a,b] 上绝对连续，则 f(x) 具有性质 (N)，即对任何零集 仍为零集；性质(N) 对名称由卢津 (JIyзин,H.H.）提出。
7、（巴拿赫-查列茨基定理）若 f(x) 是[a,b] 上的连续的有界变差函数，且具有性质 (N)，则 f(x) 是一绝对连续函数。
8、f(x) 在[a,b] 上绝对连续的充分必要条件为 是绝对连续函数。
9、绝对连续函数几乎处处可微，是它的导函数的广义原函数。