缓增广义函数(tempered distribution)是施瓦兹空间S上的连续线性泛函。这样的广义函数全体在适当的拓扑下，记为S′。S′的重要性在于可以定义傅里叶变换。设u∈S′，定义其傅里叶变换：

常见的函数(例如所有1≤p≤+∞的L函数)几乎都是缓增广义函数，但也存在不是函数的缓增广义函数(例如δ函数)。这样一来，大大地扩大了傅里叶变换应用的范围，发挥了傅里叶变换作为研究函数工具的功效。

线性泛函即线性算子。线性空间之间保持线性运算的映射。设X，Y同是数域K上的线性空间，D是X的线性子空间，T是从D到Y中的映射.如果对每个x，y∈D，有T(x+y)=Tx+Ty，则称T是可加算子；如果对每个x∈D和实数α有T(αx)=αTx，则称T是实齐次的，如果对一切α∈K这个关系式都成立，则称T是齐次算子。如果T既是可加的又是齐次的，则称T是线性算子或线性映射，D称为T的定义域，常记为D(T)。线性子空间R(T)={Tx|x∈D}称为T的值域(或像域)。当D(T)=X时，称T是X到Y的线性算子。当R(T)=Y时，称T为X到Y上的或满值域的。特别地，当Y=K(或Y是一维线性空间)时，T称为D上的线性泛函。线性泛函是线性算子的特殊情形。