胡克定律

更新时间:2024-01-05 11:54

胡克定律,曾译为虎克定律,是力学弹性理论中的一条基本定律,表述为:固体材料受力之后,材料中的应力应变(单位变形量)之间成线性关系。满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型(英文Hookean)材料。

定律定义

胡克定律由R.胡克于1678年提出,表达式为或,其中是常数,是物体的劲度系数倔强系数)(弹性系数)。在国际单位制中,的单位是牛顿,的单位是米,它是形变量(弹性形变),的单位是牛/米。劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时的弹力

胡克的弹性定律指出:弹簧在发生弹性形变时,弹簧的弹力和弹簧的伸长量(或压缩量)成正比,即 。是物质的弹性系数,它只由材料的性质所决定,与其他因素无关。负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长(或压缩)的方向相反。

满足胡克定律的弹性体是一个重要的物理理论模型,它是对现实世界中复杂的非线性本构关系的线性简化,而实践又证明了它在一定程度上是有效的。然而现实中也存在着大量不满足胡克定律的实例。胡克定律的重要意义不只在于它描述了弹性体形变与力的关系,更在于它开创了一种研究的重要方法:将现实世界中复杂的非线性现象作线性简化,这种方法的使用在理论物理学中是数见不鲜的。

式中表示内力,是作用的面积,是弹性体原长,是受力后的伸长量,比例系数称为弹性模量,也称为杨氏模量,由于应变为纯数,故弹性模量和应力具有相同的单位,弹性模量是描写材料本身的物理量,由上式可知,应力大而应变小,则弹性模量较大;反之,弹性模量较小。弹性模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力,对于一定的材料来说,拉伸和压缩量的弹性模量不同,但二者相差不多,这时可认为两者相同。

广义胡克定理

胡克定律的内容为:在材料的线弹性范围内(见上图的材料应力应变曲线的比例极限范围内),固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比;也可表述为:在应力低于比例极限的情况下,固体中的应力与应变成正比,即,式中为常数,称为弹性模量杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态,则可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式:

式中为应力分量,为应变分量;和为拉梅常量,又称剪切模量。这些关系也可写为:

弹性模量(或杨氏模量);为泊松比。、、和之间存在下列联系:

式(1)适用于已知应变求应力的问题,式(2)适用于已知应力求应变的问题。

适用范围

在线弹性阶段,广义胡克定律成立,也就是应力(为比例极限)时成立。在弹性范围内不一定成立,(为弹性极限),虽然在弹性范围内,但广义胡克定律不成立。

发展简史

起初,胡克在做实验的过程中,发现“弹簧上所加重量的大小与弹簧的伸长量成正比”,他又通过多次实验验证自己的猜想。1678年,胡克写了一篇《弹簧》论文,向人们介绍了对弹性物体实验的结果,为材料力学和弹性力学的发展奠定了基础。

19世纪初,在前者做了不少实验工作的前提下,英国科学家托马斯·杨总结了胡克等人的研究成果,指出:如果弹性体的伸长量超过一定限度,材料就会断裂,弹性力定律就不再适用了,明确地指出弹性力定律的适用范围。(超出该适用范围的形变就叫做范性形变)

至此,经过许多科学家的辛勤劳动,终于准确地确立了物体的弹性力定律。后人为纪念胡克的开创性工作和取得的成果,便把这个定律叫做胡克定律。

胡克定律的另一称法——郑玄-胡克定律

胡克定律是由英国力学家 R.胡克(Robert Hooke, 1635-1703) 于1678年发现的,胡克提出该定律的过程颇有趣味,他于1676年发表了一句拉丁语字谜,谜面是:ceiiinosssttuv。两年后他公布了谜底是:ut tensio sic vis,意思是“力如伸长(那样变化)”,这正是胡克定律的中心内容。实际上早于他1500年前,东汉的经学家和教育家郑玄(公元127-200)为《周礼·冬官考工记·弓人》一文中的“量其力,有三钧”一句作注解时,在《周礼注疏·卷四十二》中写到:“假令弓力胜三石,引之中三尺,驰其弦,以绳缓擐之,每加物一石,则张一尺。”,正确地提示了力与形变成正比的关系,而郑玄的发现要比胡克要早一千五百年。因此有物理学家认为胡克定律应称之为“郑玄-胡克定律”。

定律影响

胡克的发现直接导致了弹簧测力计———测量力的基本工具的诞生,并且直到现代的物理实验室还在广泛使用。弹簧测力计的原理也即是“胡克定律”。

扩展阅读

几种常见材料的弹性模量

胡克定律的张量形式

若要对处于三维应力状态下的材料进行描述,需要定义一个包含81个弹性常数的四阶张量以联系二阶应力张量和应变张量(又称格林张量)。

由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对称性(应力张量的对称性就是材料力学中的剪应力互等定理)。81个弹性常数中对于最一般的材料也只有21个是独立的。

由于应力的单位量纲(力/面积)与压强相同,而应变是无量纲的,所以弹性常数张量中每一个元素(分量)都具有压强的量纲。

对于固体材料大变形力学行为的描述需要用到新胡克型固体模型(neo-hookeansolids)和 mooney-rivlin 型固体模型

弹簧方程

胡克定律能精确地描述普通弹簧在变形不太大时的力学行为。胡克定律应用的一个常见例子是弹簧。在弹性限度内,弹簧施加在物体上的弹力和弹簧的长度变化量成线性关系,即: 

式中是弹簧的劲度系数(或称为倔强系数),它由弹簧材料的性质和几何外形所决定。负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长(或压缩)的方向相反。这种弹力称为回复力,表示它有使系统回复平衡的趋势。满足上式的弹簧称为线性弹簧。

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