更新时间：2024-07-02 09:36
在数学中，自由模是一个有基的模 - 即一个由线性独立的元素组成的集合。 每个向量空间都是一个自由模，但是如果系数的环不是分割环（不是交换情况），则存在非自由模。
在数学中，自由模是一个有基的模，即一个由线性独立的元素组成的集合。 每个向量空间都是一个自由模，但是如果系数的环不是分割环（不是交换情况），则存在非自由模。
给定环R，若存在集合S为R模P的基，则称P为以S为基的自由模。
对于环R和R-模的M，如果下面两个条件成立，那么“集合E包含于M”是M的基：
（1）M是由E形成的；也就是说，M的每个元素是E的元素乘以R里面的系数再得到的有限的和；
（2）E是线性独立的，也就是 。
上述定义的后半部分的直接结果是系数对于M的每个元素都是唯一的。
如果R具有不变的基数，则根据定义，它的任何两个基数具有相同的基数。 任何基数被称为自由模M的等级。自由模被认为是n级的。
让R是一个环。
一个自由阿贝尔群正好是一个整数环Z的自由模。
（1）R是一个自由模（无论是左模还是右模）；任何单元都是基。
（3）如果R是可交换的，则不确定X中的多项式环R [X]是否具有基1，X，X2，...的自由模。
（4）对于任何非负整数n，，Rn是左R模的n个笛卡尔乘积。 如果R具有不变基数，则其等级为n。
（5）自由模的直接求和也是自由的，而自由模的无限笛卡尔乘积通常不是自由的。
给定一个集合E和环R，有一个自由模R，其以E为基础：即由E索引的R的直接和
显而易见，它是笛卡尔积的子模块（R被视为左模块），它由仅有有限许多非零分量的元素组成。可以通过用e（E）的元素识别元素e，将E嵌入到R（E）中作为子集，那么R（E）的元素可以唯一地写为
其中只有很多非零。 它被称为E的元素的公式线性组合。
一个类似的观点表明，每个自由模左（右）R模块直接总和是同构的。
映射在以下意义上是普遍的：
给定从集合E到R模M的任意映射，存在唯一的模块同构ψ：，使得φ=ψ·τ。
这将R（E）定义为规范的同构，映射可以自然地从集合的类别到R模块的类别扩展成一个函子。
这个函子是将一个模映射到其基的函子。