若令

式（1）可作为曳力系数的定义式。

曳力系数与颗粒雷诺数Rep的关系经实验测定示于图1中。

设想将表面光滑的球形颗粒置于静止的粘性流体介质中，如果颗粒的密度大于流体的密度，颗粒将在流体中做下沉运动。此时，颗粒将受到重力、浮力和阻力的作用。重力向下，浮力向上，阻力是颗粒表面与流体摩擦时产生的，是流体介质对颗粒实施拖曳的力，与颗粒运动方向相反，因此作用方向是向上的。重力减去浮力和阻力，是促使颗粒沉降的净力。在此力的作用下，颗粒产生一定的加速度。随着颗粒沉降速度的增加，阻力增大。当阻力增大到等于重力与浮力之差时，颗粒受到的合力为零。此后颗粒便以加速度为零的瞬时速度等速向下运动。

由此可见，颗粒在静止的粘性流体中沉降有两个阶段。第一阶段为加速段。此时颗粒受到其值等于重力减去浮力和阻力的合力的作用，使颗粒呈加速运动。在这一阶段中，随着颗粒速度的增大而使阻力增大。当阻力增大到重力、浮力与阻力成平衡时，转为第二阶段的等速运动。此等速段的速度称为沉降速度，也称自由沉降速度。沉降速度就是加速阶段终了时颗粒相对于流体的速度，因此也称为终端速度，用U。表示。

由于工业上沉降操作所处理的颗粒往往很小，因此颗粒与流体问的接触表面相对甚大，故阻力随速度增长很快，可在短时间内便与重力、浮力相平衡。所以在重力沉降过程中，加速段常常可以忽略不计。

对于一定的颗粒与一定的流体，重力与浮力都是恒定的。令颗粒的密度为ρs，直径为d，在粘度为μ，密度为ρ的流体中所受的力如下：

重力

浮力

合力

由力F的作用使颗粒呈加速降落（ρs>ρ时）或加速上升（ρs<ρ时）。

根据牛顿第二定律，颗粒与流体间产生相对运动，于是颗粒受到流体的曳力FD。

颗粒沉降达到等速运动时所受的静力为零，因此有：

故：

式中CD为曳力系数，是颗粒雷诺数Rep的函数，所以为了计算u0，需将两式联立求解。根据Rep的不同，曳力系数CD与颗粒雷诺数Rep的关系可分为几个不同区域，因此沉降速度u0的计算也需按不同区域进行。

层流区，Rep<1

过渡区，1p<1000

湍流区，1000p<2×105

上三式为表面光滑的球形颗粒在流体中自由沉降的速度公式。一式称斯托克斯公式。沉降操作中所涉及的颗粒直径都很小，Rep常在0.3以内，故此式常用。二式称艾伦公式。三式称牛顿公式。在层流区，由流体的粘性而引起的表面摩擦阻力占主要地位；在湍流区，由流体在颗粒尾部出现边界层分离而形成漩涡所引起的形体阻力占主要地位。由牛顿公式可见，在湍流区内流体粘度μ对沉降速度u0已无影响。在整个范围内随着Rep值的增加，表面摩擦阻力的作用逐渐减小以致消失，而形体阻力的作用逐渐增大，在过渡区，二者都不可忽略。

上述三式适用于计算多种情况下颗粒与流体在重力方向上的相对运动速度，即不仅适用于静止流体中的运动颗粒，而且适用于运动流体中的静止颗粒，或者是逆向运动着的流体与颗粒，以及同向运动着但各有不同速度的流体与颗粒之间相对运动速度的计算。使用上述三个自由沉降速度公式的条件是：容器的尺寸要远远大于颗粒的尺寸（譬如100倍以上），否则器壁会对颗粒的沉降有显著的阻滞作用；颗粒不可过分细微，否则由于流体分子的碰撞将使颗粒发生布朗运动。

颗粒在流体中运动的阻力，前面已指出系由表面阻力与形体阻力所组成，它们显然都与颗粒的形状有关。颗粒形状与球形的差异程度，可用它的球形度来表征。

不同球形度φs的颗粒，具有不同的阻力系数。球形度φs值越小，颗粒形状与圆球的差异越大，阻力系数越大，显然，在这种情况下，有较小的沉降速度。

对于非球形颗粒，雷诺准数Rep中的直径d要用颗粒的当量直径de代替。de是与一个颗粒体积相等的圆球的直径，即

式中，Vp为任意形状的一个颗粒的体积，m3。

图2表示球形度与雷诺准数对沉降速度的影响。图2中的纵坐标，为不规则形状颗粒与球形颗粒沉降速度的比值，横坐标为雷诺准数。图2中斜线表示不同球形度颗粒的关系线。由图2可见，当Rep相同时，φs值越小，则u0（φs）/u0（φs=1）值也越小。

当使用斯托克斯公式、艾伦公式和牛顿公式时，系假定颗粒为球形。利用图2，可校核不同球形度对沉降速度的影响。

以上所讨论的，是单一颗粒在流体中自由沉降时的情况。但是，如果系统中颗粒浓度增大，由于颗粒的下沉和流体向上置换，发生流体动力作用的相互影响，或者发生颗粒间的相互碰撞。这种情况称为干扰沉降。干扰沉降速度比自由沉降速度小，因为这时颗粒等于是在有效密度与有效粘度都比清液为大的悬浮体系中沉降，受到的浮力与阻力都比较大。另一方面，粒子群向下运动时，流体被置换向上，从而阻滞了邻近的其他颗粒的沉降。

容器器壁对颗粒沉降的阻滞作用称为壁面效应，以壁面效应因子fw表示，fw的定义是实际沉降速度与自由沉降速度之比。fw的关联式如下：

层流：n=2.25

湍流：n=1.5