1963年从东京大学法学系毕业后，葛西进入国铁工作，主要负责经营企划和劳务。他在担任职员局次长时推进分拆民营化工作，与JR西日本前社长井手正敬以及已故的JR东日本前社长松田昌士并称为“改革三人组”。

1987年分拆民营化后葛西进入JR东海，就任董事兼综合企划总部长。

葛西1995年6月出任JR东海的社长，参与1997年在东证主板市场（当时）的上市和2003年新干线品川站开业工作，强化了公司经营基础。他从2004年6月起就任董事长，后于2014年成为名誉董事长。此外他还运用国内外政坛商界的人脉，力争让新干线和磁悬浮出口海外。葛西于2020年6月卸任董事。

2022年5月25日早晨5点27分，因间质性肺炎去世，享年81岁。