因为，所以从(2)，得，代入(1)，得，因此，

从而，，由此可知，是的根。

证明二 因为a+bi是的根，所以是的因式，因此，和

的最高公因式，只有两种可能：或者是，或者是。

因为，和的各项的系数都是实数，它们的最高公因式的各项的系数也都是实数，而的各项的系数不全是实数，所以不是和的最高公因式。因此，是和的最高公因式，由此可知，

因此，是的根。

因为实数系数方程如果有虚根，共轭虚根一定成对出现，所以我们可以得出下面的两个推论。

实数系数奇次方程至少有一个实根，一般有奇数个实根。

实数系数偶次方程或者没有实根，或者有偶数个实根。

因为实数系数方程有一个实根c，就有一个实数系数因式和它对应，有一对虚根，就有一个实数系数因式和它对应，所以我们又可以得出下面的推论。

实数系数多项式一定是一次或者二次的实数系数不可约因式的积。

如果有理数系数方程有无理根，这里a、b和d是有理数，是无理数，，那么它还有另一个无理根。

如果有理数系数方程有无理根，这里a、b、c和d是有理数，是无理数，ab≠0，那么它还有另外三个无理根，和。

如果有理数系数方程有一个根是，这里a、b和c是有理数，是无理数，，那么它还有另外三个根，和。

如果有理数系数方程有一个根是，这里a、b、c和d是有理数，是无理数，，那么它还有另外三个根，和。

例1 已知方程有一个根是，解这个方程。

解 因为实数系数方程有一个根是，所以它还有一个根是，用

除得．解得。

因此，原方程的根是。