可见，对于同一状态，有不同的表示形式，分别都是用一组数字集合（分立的或连续的或兼而有之）来描述状态，这些不同的表示形式中的每一个叫做一个表象。当要解决某特定问题时，便选取一个特定的Q表象，相当于选取一个特定的坐标系。Q表象中的本征函数正交、归一、完全集{Un（x）},是这一表象中的一组基矢（简称基），它相当于坐标系中的一组单位矢量，而波函数{an（t）}是态矢量ψ 在 Q表象中各基矢方向上的投影（一组数字），这就是表象理论的几何图像。

算符

表示力学量的算符，在不同表象中也有不同的表示形式。在坐标表象中， 各种力学量的算符形式是 是动量算符。算符

作用在波函数ψ（x,t）上得到另一个新的波函数 Ф（x,t），即

在Q表象中可将ψ（x,t）和Ф（x,t）分别用孶 的本征函数完全集{Un（x）}展开，展开系数的数字集合{an（t）}和{bn（t）}就是Q表象中分别与ψ（x,t）和Ф（x,t）等价的波函数。利用{Un（x）}正交、归一的性质，可得到

式中 Q表象中的式⑹和坐标表象中的式⑸相当，写成矩阵运算形式时为 即在Q表象中，算符弲 的表示形式是把数字集合{Fmn}排成一个方形矩阵，Fmn表示方形矩阵中第n行第m列的元素，即

而波函数ψ（x,t）和Ф（x,t）在Q表象中的表示形式，是把数字集合{an（t）}和{bn（t）}分别排成一个列矩阵，即

对于孶的本征值具有连续谱的情况，以上的论述仍然成立，只是{Un（t）}、{an（t）}和{bn（t）}等的角注 n要换成连续变化的λ，求和要换成对λ求积分，此时式 ⑺写成 仍然把它看作矩阵元，{Fλ'λ}看成方形矩阵，{aλ（t）}和{bλ （t）}看成列矩阵，矩阵的行和列都是连续编号的。

量子力学中采用不同的表象在理论上是完全等价的，而在实际工作中选取什么表象取决于所讨论的问题，表象选得适当可以使问题简化。

可以用表象理论的几何图像来说明表象变换。选取一个特定的表象，相当于在抽象的希耳伯特空间中选取一个有一组完全基矢（本征函数集）的特定的坐标系，表象变换相当于坐标系的基矢变换，从一个A表象变换到一个B表象，相当于由一组基矢{ψn（x）}（┭的本征函数集）变到另一组基矢{嗞α（x）}（峺）的本征函数集，这种变换是通过一个变换矩阵的作用来实现的。{ψn（x）}是完全集，B表象中的每一基矢嗞α（x）都可按{ψn（x）}展开

可见这个变换矩阵是一种幺正矩阵，式⑻中两种表象之间基矢的变换是一个幺正变换。

态

态的表象表示

⑴ 坐标表象

以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。

⑵ 动量表象

以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。选x为自变量，动量算符的本征函数是平面波。

动量表象也可以用动量为自变量表示。在Px表象中，粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数

⑶ 任意表象

设有某一线性厄米算符。为叙述方便起见，假定算符具有分立本征值谱。物理意义是：当体系处在以（r,t）所描述的状态时，力学量Q具有确定值Qn的概率是具有和波函数统计解释相同的概率解释。

说明：希尔伯特空间，空间的维数等于完备、正交、归一的本征函数系中本征函数的个数，它可以是有限维的，也可以是无穷维的，而且空间的基底既可以是个实向量也可以是个复函数。态矢量是个复矢量。

量子态希尔伯特空间中的态矢量； 波函数态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或用函数表示； 任意算符的本征函数系表象的基；不同表象不同基，不同坐标系；本征函数基矢；厄米算符的本征函数系一组完备的基矢。