更新时间：2023-12-29 20:10
在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基（Orthonormal basis）。
无论在有限维还是无限维空间中，正交基的概念都是很重要的。在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间（而不是整个空间）的集合。
注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。因此，一个巴拿赫空间有正交基，当且仅当它是一个希尔伯特空间。
(1). a=(,,1);b=(2,-2,-1);c=(1,1,0)是的一组正交基；
(2). α=(1,0,0);β=(0,1,0);γ=(0,0,1)是的一组标准正交基。
(4)由fn(x) = exp（2πinx）定义的集合：
{fn:n∈Z}组成在复勒贝格空间L（[0,1]）上的一个标准正交基。
n维欧式空间V中，n个向量的正交向量组称为V的正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。由单位向量构成的并且相互正交的基称为标准正交基。正交，意为两向量的内积等于零
注: ① 由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准正交基。 ② n维欧氏空间V中的一组基为标准正交基。
B是H上的一个正交基，那么H中的每个元素x都可以表示成：
当B是标准正交基时，就是：
x的模长表示为：
即使B不是可数的，上面和式里的非零项也只会有可数多个，所以这个表达式仍然是有效的。上式被称作x的傅立叶展开，详见傅里叶级数。
若B是H上的一个标准正交基，那么H“同构”于序列空间l（B）。因为存在以下H->l（B）的双射Φ，使得对于所有H中的x和y有：
运用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法，可以证明每个希尔伯特空间都有基，并且有正交基。同一个空间的正交基的基数必然是相同的。当一个希尔伯特空间有可数个元素组成的正交基，就说这个空间是可分的。
有前面的定义可以知道，在无穷维空间的情况下，正交基不再是一般线性代数的定义下的基。为了区分，把一般线性代数的定义下的基称为哈默尔基。
在内积空间的实际应用中，哈默尔基甚少出现，因此提到“基”的概念时，一般指的是正交基。