更新时间：2023-11-17 22:15
调和分析是现代分析数学的核心领域之一，其辉煌的成就让一代代分析学家为之倾倒与奋斗。按照华罗庚先生的说法，把已知函数展开成Fourier级数的运算就叫做调和分析。事实上，调和分析也正是从Fourier级数和Fourier变换理论的研究开始发展壮大的。从物理的观点，调和分析就是要把信号表示为基本波“讽和子”的超位置叠加。几个世纪以来，调和分析已经形成了庞大的学科体系，并在数学、信息处理和量子力学等领域有着重要和深刻的应用。
调和分析的发展可以追溯到Fourier分析。近来调和分析发展的数学工具，例如小波变换和Gabor变换，都是某些场合(具有某种性质的空间，例如Bosov空间)中本质上最优的变换。调和分析已经成功地应用在发展泛函表示的新形式中，这些已经证明了调和分析具有重要的意义。Fourier变换和小波变换是应用于函数逼近的两种典型工具。
傅里叶级数：任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。
傅里叶变换：Fourier变换是用无穷区间上的复正弦基函数和信号的内积描述了信号中总的频率分布，它将原时域信号的研究转换为在频域上的Fourier系数的研究，Fourier分析是纯频域分析。只适用于确定性的平稳信号
从应用角度来说，有效确定Fourier级数问题的运算称为实用调和分析。有限调和分析是实用调和分析的主体框架，即从有限个数据所应计算的最恰当的项数的角度，从有限到有限的思想方法来解决实际问题的Fourier方法是有限调和分析的应用价值所在。再从物理的角度，人们可以发现量子力学中的测不准关系有着调和分析版的解释，即Paley-Wiener定理所描述的非零紧支集广义函数的Fourier变换没有紧支集。
抽象调和分析是调和分析更深入的现代数学分支，即研究拓扑群上的调和分析理论，特别是Fourier变换理论。Abel紧群的Ponteyagin对偶理论是调和分析特征在现代数学处理中的合适写照。对一般的非Abel局部紧群来说，调和分析是与酉群的表示论密切相关的。经典卷积的Fourier变换是Fourier变换的乘积的性质可以通过对紧群的Peter-Weyl定理有所升华体现。当群既非Abel又非紧群时，一般的抽象调和分析理论还不是很完善。例如，是否此时存在Ptancherel定理的类似物还不知道．但是在许多特殊情况下，通过无穷维表示技术是可以分析一定的相关问题的。