更新时间：2022-08-25 14:18
给出黎曼流形(M,g), (N,h)和映射φ:M→N，定义φ在M中一点x上的能量密度为
其中是φ的微分的范数平方，范数是对向量丛TM⊗φTN上的导出度量而取。能量是能量密度在M上的积分
其中dvg是M上由度量导出的测度。这是古典狄利克雷能量的推广。
能量密度可以更明确地表作
用爱因斯坦求和约定，上式右方在局部座标中可表示为：
当M是紧致时，则φ称为调和映射，若φ是能量泛函E的一个临界点。这个定义可以延伸至M不是紧致的情况：φ称为调和映射，若φ限制到任一个紧致区域上都是调和映射，换一个更通常的说法，就是若在索伯列夫空间H(M,N)中φ是能量泛函一个临界点。
调和映射的另一个等价定义，就是φ满足与泛函E对应的欧拉-拉格朗日方程：
其中∇是向量丛TM⊗φ上由M和N的列维-奇维塔联络导出的联络。式中τ(φ)是向量丛φ(TN)的截面，称为φ的张力场。用上文的物理比喻来说，τ(φ)是“橡胶”流形M要使能量极小化时在N中拟欲移动的方向。
度量空间中的调和映射。
对于两个度量空间之间的映射u:M→N这个比黎曼流形弱的场合，能量积分也有相应的推广。（Jost 1995）这时用以下形式的函数代替能量积分：
其中是依附在M每一点上的测度族。