更新时间：2023-12-10 20:28
十七世纪后期，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。
1734年，大主教乔治·贝克莱(George Berkeley) “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说的导数，先将取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx)2 − x2，得到2xΔx + (Δx)2 ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。
对于无穷小量所带来的数学本身非逻辑非严谨性的问题，那些曾具体从事微积分研究的数学家们早就有过这样或那样的思考，在他们之间并展开过激烈的讨论和争论。从数学的角度看，如何较好地理解这一问题或许可以被看成一个纯技术性的问题；但是，从文化的角度看，我们又只有从更为广泛的角度去进行考察，特别是密切联系当时在欧洲人生活中占重要地位的基督教文化，才能更好地理解围绕无穷小运算所展开的激烈争论及其内涵。
英国主观唯心主义哲学家、主教。1685年3月12日出生于爱尔兰基尔肯尼郡，1753年1月14日卒于牛津。少年早熟，15岁考进都柏林三一学院，1704年获学士学位，1707年获硕士学位,留校担任讲师、初级研究员。1709年刊行《视觉新论》，1710年发表《人类知识原理》，1713年出版《海拉斯和斐洛诺斯的对话三篇》，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。1734年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教，任职18年，仍致力于哲学的思辨。1752年移居牛津附近的新学院。贝克莱对于心理学的贡献，主要是他的《视觉新论》断定经验来自视觉、肤觉的客体、方位、大小和形状。这本书主要企图证明人们的视觉经由什么途径来知觉客体的距离、体积和位置；并探讨视觉的观念和肤觉的观念有什么差异，是否有共同的观念。他认为由空间知觉来判断距离的远近和物体的大小，全凭人们的知觉经验。物体投射到眼睛网膜的视象受方位、空气透视和相对大小的影响，这已是人所共知的常识。还提出眼的辐合作用，眼的投射域和眼的调节作用（紧张度）。这些都符合现代眼科生理的事实。
表现在以下几个方面：
第一，物质就是“虚无”。贝克莱深知物质概念是一切唯物主义和无神论者的基石，因此，他千方百计地攻击唯物主义的物质不说，否认物质的客观实在性，以图达到他取消物质的目的，宣称物质就是“虚无”。他说：“关于‘物质’或‘有形实体’的学说，是‘怀疑主义’的主要支柱，同样，一切‘无神论’和‘不信宗教’的渎神的企图，也是建立在这个基础之上的……物质的实体从来就是‘无神论者’的挚友，这一点是无需多说的。他们的一切古怪系统，都明显地，必然地依靠它；所以一旦把这块基础去掉，整个建筑就不能不垮台。”他认为，物质是一个虚构的词，不表示任何实在的东西，在人的心中也没与之相应的观念。由此得出结论，物质就是“虚无”，他讥笑唯物主义者说：“假如你愿意的话，你可以把物质一词用成和别人所用的无物一词的意义一样。”贝克莱就是这样攻击唯物主义的，但是，物质是不依赖于人的感觉的客观存在，是人类长期实践所证实的，决不是贝克莱可以取消得了的。
第二，存在就是被感知。人们认识的对象就是观念，观念并不反映观念之外的任何事物，而且观念之外就没有任何事物，人们平常所说的事物，不过是观念的各种不同的结合而已。例如，我们看到一个圆的形状、红的颜色，嗅到香的气味，把这些感觉集合起来，人们就用苹果这个名称来表示它，并把它当做一个单独事物来看待。由此得出结论，事物就是观念的集合。然而，观念本身并不能独立存在，要有一个能感知它们的主体，这个主体就是“一个能感知的主动存在，要有一个能感知它们的主体，这个主体就是”一个能感知的主动实体，就是我所谓的心灵、精神、灵魂或自我。……观念只存在于这个东西之中，或者就被这个东西所感知。主观唯心主义在我国也同样存在，明代的王阳明（1472——1528），集宋明时期主观唯心主义之大成，有四个字就可以概括他的全部哲学叫做“心外无物”。就是说，万事万物，包括月亮、太阳……都存在于他的心中。
一般人可能会这样反驳：这种主观唯心主义显然是站不住脚的，它不可避免地要陷入唯我论的可悲结局，既然，世界只存在于他的感觉中，那么世界上也就只有他一人是存在的了，这是何等荒谬呢！如果我们质问主观唯心主义者，既然你认为世界上的一切都是你的感觉，那么当你还没出世之前也就是还没有你的感觉的时候，生你的父母是不是客观存在的呢？对于这样的问题他们是无法回答的。
然而，以上反驳是站不住脚的。要了解贝克莱的思想，绝不可把物质与存在（或非物质与不存在）混为一谈。贝克莱的理论是“非物质论”（Immaterialism），认为世界上存在的只有能进行思考的心灵（Mind）和不能进行思考、只存在于心灵之中的观念（Proception）。物质（Material）是不存在的，因为它被证明是一种没有性质的物理客体（参看贝克莱的早期著作）。我们能够感知到主观存在的观念，经验到作为客观实体的心灵。贝克莱的思想绝不等同于王阳明的思想，王阳明有很大的唯我论倾向，但贝克莱是反对唯我论的。贝克莱指出：我们所感知的只是观念，我感知不到的观念，对于我的心灵来说就是不存在的，但对于别的感知到它的心灵来说，这个观念就是存在的，因为所谓的“心灵”并不是仅仅指我的心灵，而是指所有的心灵，包括永恒不朽的心灵——God，God给予所有观念以感知，于是它们即使不为人所感知，也是存在的，别忘了贝克莱可是个有神论者。
对于生身父母的问题，我们可以做如此解释：我们在没有出世之前自然经验不到父母的心灵，父母的心灵实体对于我们的心灵来说就是不存在的，但这并不意味着对于其他心灵（比如祖父祖母、父母的朋友们等等）来说我们的父母也是不存在的，他们可以经验到我们的父母的心灵实体，因此对于这些心灵，我们的父母客观存在。哪怕我们的父母就是Adam和Eve，还会有God这个永恒心灵来经验他们的心灵。贝克莱不反对心灵的客观存在，但他强烈反对物质的客观存在。事实上，刚才所反驳的仅仅是贝克莱本人也不赞同的唯我论，而不是贝克莱的真正思想
在我们还是婴儿的时候，我们的心灵具有了一定的感知能力。我们可以慢慢知道，哪些观念的集合用“桌子”这一词汇称呼，那些观念的集合用“椅子”这一词汇称呼，哪些似乎是观念的集合的事物被称为“父”、“母”或者“小朋友”。渐渐地，对我们心灵中经验的能力趋于成熟时，我们会发现，“父”、“母”以及“小朋友”这些词汇所指称的事物与观念有很大区别，通过进行经验，我们会发现，和桌子与苹果相比，他们是能动的，至少与本人十分相似。于是我们便可以做出判断：“父”、“母”、“小朋友”不是观念，而是一种与观念截然不同的事物——心灵。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。
柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。