又 LP2=LS×LT

故有 LP2=LU×LD

另一方面，T是公共的切点，自然在⊙V上，因此 L，D，T，N共圆，进而有 ∠LTD=∠LND

由已导出的S，T，D，U共圆，得

∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B

而 ∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B

（这里用了LN∥AC，以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）

所以，就得到 ∠AVU=∠C

注意到AV，AC，CU，UV均与⊙I相切，于是有

∠AIR=∠AIQ ∠UIS=∠UIP ∠RIS=∠QIS

三式相加，即知 ∠AIU=180°

也即是说，A，I，U三点共线。

另外，AV=AC，这可由△AIV≌△AIC得到。

（这说明，公切点T可如下得到：连接AI，并延长交BC于点U，过点U作⊙I的切线，切点为S，交AB于V，最后连接LS，其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点T。）

连接CV，与AU交于点K，

则 K是VC的中点。

前面已得到：LP2=LU×LD

而 2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV

即 LP=BV

然而 LK是△CBV的中位线

于是 LK=BV

因此 LP=LK

故 LK2=LU×LD

由于以上推导均可逆转，因此我们只需证明： LK2=LU×LD。

这等价于：LK与圆KUD相切

于是只需证：∠LKU=∠KDU

再注意到 LK∥AB（LK是△CBV的中位线），即有

∠LKU=∠BAU

又AU是角平分线，于是 ∠LKU=∠CAU=∠CAK

于是又只需证：∠CAK=∠KDU

即证：∠CAK+∠CDK=180°

这即是证：A，C，D，K四点共圆

由于 AK⊥KC（易得），AD⊥DC

所以 A，C，D，K四点共圆。

这就证明了⊙I与⊙V内切。

旁切圆的情形是类似的。

证毕

另略证：

OI^2=R^2-2Rr

IH^2=2r^2-2Rr'

OH^2=R^2-4Rr'(其中r'是垂心H的垂足三角形的内切圆半径，R、r是三角形ABC外接圆和内切圆半径)

FI^2=1/2(OI^2+IH^2)-1/4OH^2=(1/2R-r)^2

FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切（九点圆半径为外接圆半径一半。F是九点圆圆心，I为内心）