Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duosquadratoquadrutos 6 generaliter nullam in infnitum ultra quadratum potestatemin duos eiusdem nominis fasest dividere cuius rei demonstrationem mirabilemsane detexi. Hancmarginis exiguitas non caperet.

尽管当时该命题并不是一个定理，但随着时间的推移，它还是被称为费马最后定理，因为它是费马断言的最后一个尚未得到证明的命题。

费马利用无穷递降法证明了整数边长的直角三角形的面积不是完全平方数。进一步此方法也能说明方程没有非平凡整数解，实际上便证明了费马猜想的情形。因此对奇素数证明费马猜想即可，因为任何方程有非平凡整数解都会导致有非平凡整数解，其中是的任何一个素因子。

在其猜想之后的两个世纪(1637-1839)中，费马猜想进展缓慢。1770 年，莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)给出了的证明。尽管欧拉的证明存在一定缺陷，但由于他证明了所必需的引理，因此通常认为他是第一个证明该情形的。

1825 年前后，法国数学家勒让德 (Adrien-Marie Legendre) 和德国数学家狄利克雷 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 分别独立证明了的情形。

之后还有许多数学家讨论了7 及一些非素数情形的直接证明，但多采用改进的无穷递降法。当逐渐变大，逐个素数证明已经不现实。直到 19 世纪初，法国数学家索菲·热尔曼 (Marie-Sophie Germain) 才做出了关于一类素数情形的突破性工作。

对于指数的费马方程，热尔曼证明了如下结果：

若有素数使得模下既没有连续的两个次幂，又没有一个次幂同余于，则费马方程的解中某个数会被整除。

热尔曼写信给勒让德陈述了该命题，但她最初只证明了之一会被整除，并被勒让德发表， 后来修正后才得到上述结果。

她还构造了索数,其中不被 3 整除。她期望证明如果没有模下连续的两个次幂，那么整除之一，并且希望说明这样的有无穷多个，从而与xyz素因子有限矛盾。

1847年，拉梅 (Gabriel Lamé) 概述了他对费马猜想的证明，该证明基于将费马方程在分圆域上因式分解。但是他的证明有错误，因为他错误地假设了这样的域上的“整数”也有唯一分解性质。刘维尔(Joseph Liouville)很快指出了这一问题，之后库默尔(Ernst Kummer)撰写的一篇论文中也说明了这一点。

库默尔创造出理想数这一精妙的概念一定意义下恢复了这种唯一分解性质。进一步沿着拉梅的办法他证明所有所谓正则素数下的费马大定理，这样的素数约占所有索数的 60.65%(精确的比例还是个猜想，由西格尔 (Carl Ludwig Siegel) 在 1964 年提出)。

20 世纪中叶以后，计算机的发展延续了库默尔对于非正则素数的处理方法，1993 年完成了 对小于四百万的素数情形的证明。

1955年左右，日本数学家志村五郎 (Goro Shimura) 和谷山丰 (Yutaka Taniyama) 观察到椭圆曲线和模形式这两个看似完全不同的数学分支之间可能存在联系。由此他们猜想(称为谷山-志村猜想，后也称为模性定理(modularity theorem))，每条椭圆曲线都是模性的，即可通过-函数唯一对应一个模形式。

这个猜想最初被认为不太可能而不太受待见，但数论学家韦伊(André Weil)发现了一些支持它的证据(尽管没有证明这一点)，此后人们更加认真地对待这一猜想；因此，该猜想也被称为谷山-志村-韦伊猜想。

1984年，弗雷 (Gerhard Frey) 注意到费马方程和谷山-志村猜想之间的联系：如果费马方程对于指数有任何解，则可以证明半稳定椭圆曲线将会有异常的性质以至于它不太可能是模性的。因此证明半稳定椭圆曲线情形的谷山-志村猜想可能能证明费马大定理。弗雷没有充分证明他的观察。塞尔(Jean-Pierre Serre)确定了他的问题(其后被称为epsilon 猜想)，并提供了几乎完整的证明；最终黎贝(Kenneth Alan Ribet) 完全处理了这个问题， 因此该猜想也被称为黎贝定理 (Ribet’s theorem)。

在黎贝的工作后，只需要证明半稳定椭圆曲线情形的谷山-志村猜想即可证明费马大定理，怀尔斯很快便对此进行了尝试。怀尔斯几乎完全保密的情况下开始进行对这个问题的研究，为此他将其他的工作单独而分散地发表，并只将此事告知了他的妻子。怀尔斯最初希望在伽罗瓦理论 (Galois theory)的基础上尝试用归纳法证明，但这种方法似乎不足以解决这一问题，怀尔斯便考虑拓展岩泽理论(Iwasawa theory。到 1991 年，岩泽理论似乎也难以处理这一问题，怀尔斯便寻求其他出路，最终发现科利瓦金 (Victor Kolyvagin) 和弗拉赫 (Matthias Flach) 最新发展出的一个欧拉系统 (Euler system)可以适用。怀尔斯拓展这一办法，并在 1993 年 1 月邀请了普林斯顿大学的同事尼克·卡茨 (Nick Katz) 帮忙检查证明的正确性。

1993 年 5 月中旬，怀尔斯认为自己完成了费马大定理的证明。6 月 21 日至 23 日，怀尔斯在艾萨克·牛顿数学科学研究所的三次讲座上展示了他对半稳定椭圆曲线的谷山-志村猜想的证明， 以及黎贝对 epsilon猜想的证明。然而，在同行评审期间，包括卡茨在内的几位审阅怀尔斯手稿的数学家发现证明中的一个关键点是错误的。怀尔斯错误地估计了一个群的阶的界。卡茨于 1993年 8月 23 日将此消息告诉了怀尔斯。

怀尔斯花了将近一年的时间试图修补这一证明，期间邀请了他以前的学生理查德·泰勒 (Richard Taylor)合作，但没有成功。1993年底已有传言称，怀尔斯的证明有误，但严重程度尚不清楚。数学家们开始向怀尔斯施压，要求他公开他的证明，以便数学家们使用他发展出来的一系列方法。

怀尔斯后来说，1994 年 9月 19 日上午，他几乎要放弃了，几乎认命地接受失败的事实，并决定发表自己的研究成果，以便其他人在此基础上进行改进并修复错误。当时他正在做最后的努力，试图找出他的方法无法奏效的根本原因，这时他突然意识到，尽管科利瓦金-弗拉赫方法无法直接奏效，但若他利用其改进岩泽理论，那么他最初对于岩泽理论的尝试似乎有效。最终他成功了。

1994 年 10 月 24 日，怀尔斯提交了两份手稿，分别是《模椭圆曲线与费马大定理》(Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem) 和《某些赫克代数的环理论性质》(Ring theoretiontion properties of certainHecke algebras)。其中第二份手稿与泰勒合著。这两篇论文经过审查，并作为 1995 年 5 月《数学年刊》(Annalsof Mathematics) 的全文发表。证明中将形变环与赫克代数等同起来的方法(现在称为 R=T 定理)可以证明模性提升定理，有力推动了代数数论的发展。

至此，怀尔斯证明了半稳定椭圆曲线情形的模性定理，便完成了费马大定理的证明。

怀尔斯的工作后，完整的谷山-志村-韦伊猜想最终也被 Fred Diamond（1996） 、Brian Conrad; Fred Diamond; Richard Taylor（1999）和 Christophe Breuil; Brian Conrad; FredDiamond; Richard Taylor（2001）证明。他们在怀尔斯的工作基础上，逐步解决剩余的情况，直到完整结果得到证明。由于其已被完整证明，现多称为模性定理(modularity theorem)。

由于定理证明过于繁琐漫长，且有许多技术性细节，完善的综述可以参考 Darmon, Diamond, Taylor 的,其包含了椭圆曲线 (elliptic curves)、模形式(modularforms)以及伽罗瓦表示(Galoisrepresentations) 等前置知识。

广义费马方程要考虑的是指数不一定相等的费马方程，即寻找正整数使得成立。

Beal猜想，又称 Mauldin 猜想或Tijdeman-Zagier 猜想，称广义费马方程无解，若两两互素，且均大于 2。

这一问题还是一个公开问题。

逆费马方程，即形如：的关于正整数的方程。

该方程的所有解均由亨德里克·伦斯特拉 (Hendrik Lenstra)于 1992 年得到。在要求次方根为实数且为正数的情况下，所有解均以以下形式给出：其中为正整数，互素。

定义一个整数的根 (radical)为其不同素因子的乘积，记作rad()。则对两两互素、满足的整数，通常有rad()。abc猜想给出了这种“通常”的一个刻画，即对任意正实数,只有有限多个满足两两互素及的三元组,使得rad。

这一猜想仍是公开的。其一个版本蕴含了费马大定理。