更新时间：2024-09-19 17:23
在n个数码1，2，…，n的全排列j1j2…jn中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成反序，亦称逆序，这个排列的所有反序的总和，称为这个排列的反序数，记为τ(j1 j2…jn)或π(j1j2…jn)。例如，在四个数码的排列3142中，3与1，3与2以及4与2都构成反序，因此τ(3142)=3。反序数为奇数的排列称为奇排列，反序数为偶数的排列称为偶排列。在n (n>1)个数码的全体n!个排列中，奇、偶排列的个数相等，即都为n!/2个，这决定了在n阶行列式的展开式的n!项中正负项各半。
排列 把n个不同的元素按一定的顺序排成一行( )，称为这n个元素的一个排列，为了方便起见，这里只用到前n个自然数 的排列。
n阶排列由 组成的有序数组称为一个n阶排列，通常用 表示n阶排列。如2341是一个四阶排列，25134是一个五阶排列。
自然排列 n个不同元素的所有排列的种数，通常用 表示，从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；又从剩下的 个元素中任取一个放在第二个位置上，有 种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有一种取法，于是 。如1，2，3这三个自然数组成的所有三阶排列：123，132，213，231，312，321，其种数 。 是一个n阶排列，它具有自然顺序，称为自然排列(或标准排列)，在这个排列中的任何两个数，小的数总排在大的数前面。
反序、反序数一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成个反序、一个排列的反序总数称为这个排列的反序数。用 表示排列 的反序数。
奇排列、偶排列 反序数为奇数的排列叫做奇排列，反序数为偶数的排列叫做偶排列。
例1 在四阶排列2341中，共有反序21，31，41，即 ，所以2341是奇排列。
在五阶排列25134中，共有反序21，51，53，54，即 ，所以25134是偶排列。
例2 自然排列的反序数，所以是偶排列；而n阶排列的反序数，所以，当n=4k或4k+1时，是偶排列，而当n=4k+2或4k+3时，是奇排列。
求反序时，可以从前到后将相邻的两个数进行比较，求出反序及反序数，也可从首位数开始找出每个数与其前面数的反序，(此时首位数的反序为0)，这些反序相加即为反序数。
在一个排列中，交换其中某两个数的位置，而其余各数的位置不动，就得到另一个同阶的新排列。对排列施行的这样一个交换称为一个对换，将相邻两个数对换，叫做相邻对换。
定理1对换改变排列的奇偶性。即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。
推论在全部 阶排列中，奇、偶排列各占一半，即各有 个。
定理2任意一个n阶排列可经过一系列对换变成标准排列，并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同。