更新时间:2023-09-06 09:20
设A是一个n阶矩阵,若存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则称方阵A可逆,并称方阵B是A的逆矩阵。
单位矩阵的逆矩阵是它本身。
则:
(1)A与B的地位是平等的,故A、B两矩阵互为逆矩阵,也称A是B的逆矩阵;
(2)单位矩阵E是可逆的,即 。
(3)零矩阵是不可逆的,即取不到B,使OB=BO=E。
(4)如果A可逆,那么A的逆矩阵是唯一的。
事实上,设B、C都是A的逆矩阵,则有B=BE =B(AC)=(BA)C=EC=C。
A的逆矩阵记为 ,即若AB=BA=E,则 。
可逆矩阵还具有以下性质:
(1)若A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A。
(2)若A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T。
(3)若A、B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1 A-1 。
(1)逆矩阵的唯一性。
若矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的,并记作A的逆矩阵为A-1。
(2)n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=n。
对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。
(3)任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。
推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。
(1)伴随矩阵法
(2)初等变换法
(3)解线性方程组法
(4)分块求逆法:分块对角矩阵求逆、分块上(下)三角形矩阵求逆、分块初等变换求逆。