更新时间：2023-12-12 01:35
逻辑主义派(logicism school)数学基础中的学派之一逻辑主义派的主要宗旨是把数学化归为逻辑
逻辑主义派(logicism school)数学基础中的学派之一逻辑主义派的主要宗旨是把数学化归为逻辑.即逻辑主义者从逻辑的概念出发，经由明显的定义得出数学概念，而任何数学定理，均可从逻辑的命题出发，由纯逻辑的演绎推理得到.总之，全部数学都可从基本的逻辑概念和逻辑规则推导出来.因此，逻辑与数学也就不能区分了.实际上，从某种意义上说，逻辑主义者在为整个经典数学寻找更为一般的基础，最终要把整个数学化归为逻辑.
逻辑主义思想原则的萌芽，亦即把逻辑看成先于一切科学的观点，可以追溯到德国数学家、哲学家莱布尼茨(Leibinz,G. W.)，但他本人并没有从事这方面的工作，他的这一想法，直到19世纪才在德国数学家戴德金(Dedekind, ( J. W.) R. )、德国数学家、数理逻辑学家弗雷格(Frege , (F. L.) G. )、意大利数学家、逻辑学家佩亚诺(Peano,G.)等人的工作中得到初步发挥.应该说，逻辑主义的观点在弗雷格的工作中就基本形成，这是因为弗雷格明确提出了数学可以化归为逻辑的想法，而且花费了近20年的时间在他的巨著《算术基础》和《算术基础原理》里把算术化归为逻辑.另外，戴德金也是逻辑主义的创始人之一这是因为他在1887年发表的《数的性质与意义》一文中，就已明确提出了与英国数理逻辑学家罗素(Russell , B. A. W.)几乎完全相同的主张.当然，弗雷格的工作没有超出算术的范围，戴德金对自己的主张也没有更多的展开，只有在罗素和英国逻辑学家、数学家怀特海(Whitehead,A. N.)那里，才把逻辑主义的主张详细加以发展，并且真正从相当少的公理和概念出发，导出了大部分数学.所以，大家公认罗素是逻辑主义派的主要代表人物. 罗素在他的《数理哲学导论》一书中指出:“数学是这样的一种研究，它可以按两个方向去进行一个比较熟悉的方向是建设性的，即不断增大理论的复杂性……另一个是不很熟悉的方向，这就是通过分析来达到越来越大的抽象性和逻辑简单性，这里所考虑的已不再是从怎样的假设出发可以定义或演绎出什么结果的问题，而是研究我们能否找到更为一般的思想原则，从这些思想和原则出发，能使现在作为出发点的东西得以被定义或演绎出来.”这就是逻辑主义的根本宗旨以及实现这一宗旨的途径. 意大利数学家佩亚诺1889年运用公理化方法建立了一个关于自然数的公理系统，阐明了怎样从少数几个基本概念和几条公理出发推导出自然数的种种性质，并使得大量的算术命题能从中不断地演绎出来.关于自然数的佩亚诺公理系统是由不经定义的集合、自然数、后继数与属于等概念加5条公理构成的.这5条公理是:
. 0是一个自然数. 2.每个自然数的后继数仍为自然数. 3. 0不是任何其他自然数的后继数. 4.如果两个自然数的后继数相等，则这两个自然数也相等. 5.若M是由一些自然数所组成的集合，而M 含有0，且当M含有任一自然数a时，则M也一定含有u的后继数.那么M就含有全部自然数.
从逻辑主义的形成和历史发展来看，逻辑主义的工作可以划分为数学理论的算术化和算术理论的逻辑化两个阶段.111111111111 19世纪最后的25年，堪称为数学理论算术化的时期，许多出色的数学家都投人了这个工作.1872 年，德国数学家外尔斯特拉斯(Weierstrass,K. ＜T. W.) 、戴德金和德国数学家康托尔(Cantor,G. ＜F. P. ) 等几乎同时完成了实数的定义。但无论是康托尔的收敛有理数序列，还是康托尔的有理数分划，都表明了实数论被化归为有理数论，进而归约到整数直至自然数系统.当然其中已借用了集合的概念，从而，世所著称的、由几个原始概念和五条公理所构成的佩亚诺算术公理系统便成为这个数学理论算术化工作的终结.人们从佩亚诺系统出发，借助集合论概念，便可建造算术、分析、几何直至整个数学大厦.因而，这种数学理论的算术化使得许多数学家感到满意，甚至认为无需再前进了.但对逻辑主义者来说，这只是实现逻辑主义宗旨的第一步，要把数学化归为逻辑，更重要的是所谓算术理论逻辑化.弗雷格、怀特海和罗素曾为借助于纯逻辑概念去定义佩亚诺系统的几个原始概念、借助于纯逻辑而演绎地引出佩亚诺系统的五条公理等付出了巨大的劳动.后来，罗素曾经认为这种算术理论逻辑化的工作已经完成，从而认为逻辑主义的宗旨已经实现.罗素说:“从逻辑中展开纯数学的工作，已经由怀特海和我在《数学原理》一书中详细地做出来了.”但在实际上，因为他们在这一工作中还是借助了两条非逻辑公理，所以，罗素和怀特海并没有能在《数学原理》一书中实现逻辑主义的宗旨.
由于逻辑主义派的基本立场是确认全部数学的有效性，并认为能把全部数学化归为逻辑，这就势必要确认实无限观点下的无限集理论.因此，就无穷观而言，逻辑主义派是实无限论者，亦即要确认实无限性研究对象在数学领域中的合理性.普遍认为，“罗素及其追随者明显地承认无限性对象的存在性”.但由于罗素为排除集合论中的悖论而发展他的分支类型论，因而在罗素系统中的实无限性对象就在不同的类和级中表现为一定的层次结构.
没有无穷公理，自然数系统就无法构造，更谈不上全部数学了.没有选择公理，则数学中的定理就要砍掉一大批.罗素和怀特海在他们的工作中不得不事实上借助了这两条公理.“作为逻辑法则，只允许讨论可能性对象，而不允许在逻辑法则中做出某物是否存在的断言.”但无穷公理和选择公理恰恰都是存在性公理，因此它们不是逻辑公理.既然出手就借助了非逻辑公理，怎能说全部数学命题皆由逻辑规则和逻辑概念演绎推出呢?所以，弗雷格在晚年已倾向于放弃逻辑主义的立场.德国学者弗伦克尔 （Fraenkel , A. A.）指出:“弗雷格和罗素的理论的严重的缺陷之一在于无穷公理之使用的令人头痛的状况.”这些明摆的事实也曾迫使罗素和怀特海设法补救，他们把所有要用到这两条公理才能证明的命题一律改写为条件式命题，即不把这两条公理列入他们的系统.但当某数学命题尸必须借助无穷公理才能证明时，就将尸陈述为“如果无穷公理真，则尸” 等，因而这两条公理就变成诸如此类的每一定理的前提，而不再是特设的公理了.然而，普遍认为这是一种牵强的做法，大多数数学家都认为罗素和怀特海并没有完全实现逻辑主义的宗旨.111111111111 罗素的方案和逻辑主义宗旨均以失败告终，其根本原因在于只看到并且过于夸张了数学与逻辑在演绎结构上的同一性，完全抹杀了数学与逻辑的差异.但是，却不能由于逻辑主义的失败而认为逻辑主义者的工作毫无价值.相反地，应该看到逻辑主义者的工作已对数学与逻辑的发展做出了重要贡献，对此可概述如下:
.罗素的分支类型论，特别是经过兰姆赛 （Ramsey,F. P.）改进之后发展起来的简单类型论，对于集合论悖论的研究和排除有重要意义.而且现有的一些解决悖论的方案，无不渊源于罗素早年提出的见解. 2.逻辑主义者相当成功地把古典数学纳入了一个统一的公理系统，虽然这个系统不是纯逻辑的，但这一工作却成为公理化方法在近代发展中的一个重要起点. 3.由于逻辑主义者的工作，基本上完成了从传统逻辑到数理逻辑的过渡和演变.特别是弗雷格、美国哲学家、物理学家皮尔斯(Peirce , C. S. )、德国学者施罗德(Schroder,K. W. K. E.)等最早地引进了量词，并对量词的性质作了深刻的研究.弗雷格还进一步给出了命题演算和谓词演算系统.而罗素和怀特海合著的《数学原理》被誉为“总结过去数学基础的研究成果，并由它宣告数理逻辑已经充分成熟”的划时代的巨著.特别是逻辑主义者的工作“代表了一个第一流的学术运动，是对人类思维力的美妙的巨大贡献”.